（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理课件 新人教A版

1．3二项式定理1．3.1二项式定理一、预习教材·问题导入预习课本P29～31，思考并完成以下问题1．二项式定理是什么？2．通项公式又是什么？3．二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)二项展开式公式右边的式子二项式系数____二项展开式的通项Tk＋1＝Ckn(k＝0，1，2，…，n)Cknan－kbk二、归纳总结·核心必记[提醒]应用通项公式要注意四点(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．()(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．()×××三、基本技能·素养培优2．x－1x5的展开式中含x3项的二项式系数为()A．－10B．10C．－5D．5答案：D4．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于________．答案：x33．x2－2x35展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40答案：C[典例](1)求3x＋1x4的展开式；(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．[解](1)法一：3x＋1x4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·1x2＋C34·3x·1x3＋C44·1x4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.考点一二项式定理的应用法二：3x＋1x4＝3x＋14x2＝1x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.(2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.[类题通法]运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[针对训练]解析：(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)4＋C14(x＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)(－1)3＋C44(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为()A．x4B．(x－1)4C．(x＋1)4D．x4－1答案：A解析：原式＝C0n·2n·(－1)0＋C1n2n－1·(－1)1＋…＋(－1)k·Ckn2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.2．设n为自然数，化简C0n·2n－C1n·2n－1＋…＋(－1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn＝________.答案：1[典例](1)求二项式2x－1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求x－1x9的展开式中x3的系数．[解](1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·－1xr＝26－rCr6·(－1)r·x332r，∴T6＝－12·x－92.∴第6项的二项式系数为C56＝6，第6项的系数为C56·(－1)5·2＝－12.考点二二项式系数与项的系数问题(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1＝Cr9x9－r·－1xr＝(－1)r·Cr9·x9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84.[类题通法]求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．[针对训练]1．本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．解：由通项Tr＋1＝(－1)r·Cr6·26－r·x，知第四项的二项式系数为C36＝20，第四项的系数为C36·(－1)3·23＝－160.2．本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解．解：设展开式中第r＋1项为含x5的项，则Tr＋1＝(－1)r·Cr9·x9－2r，令9－2r＝5，得r＝2.即展开式中的第3项含x5，且系数为C29＝36.考点三与展开式中的特定项有关的问题[典例](1)x2－12x6的展开式中，常数项是()A．－54B.54C．－1516D.1516(2)2x＋x(1－x)4的展开式中x的系数是()A．1B．2C．3D．12[解析](1)x2－12x6展开式的通项Tr＋1＝Cr6(x2)6－r－12xr＝－12rCr6x12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常数项为－124C46＝1516.(2)根据题意，所给式子的展开式中含x的项有(1－x)4展开式中的常数项乘2x＋x中的x以及(1－x)4展开式中的含x2的项乘2x＋x中的2x两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3.[答案](1)D(2)C[类题通法]求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．[针对训练]1．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24解析：法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C34＋2C14＝12.法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.答案：A2．若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.13B.12C．1D．2解析：依题意，注意到x＋1x10的展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr10·x10－r·1xr＝Cr10·x10－2r，x＋1x10的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C310、C210，因此由题意得C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得a＝2.答案：D3．若x－ax26的展开式中x3的系数为－12，则a＝________；常数项是________．解析：由于二项展开式的通项Tr＋1＝Cr6x6－r－ax2r＝(－a)rCr6x6－3r，令6－3r＝3，则r＝1，所以(－a)C16＝－6a＝－12，a＝2；令6－3r＝0，则r＝2，所以常数项是(－2)2C26＝4×15＝60.答案：260