（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用习题课课件 新人教A版选修2-2

(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝fx1－fx0x1－x0求解．习题课一提升关键能力导数及其应用高频考点一导数的概念及几何意义的应用[典例](1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x(2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.[解析](1)法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.法二：易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.(2)∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.[答案](1)D(2)－3[类题通法]利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．[注意]曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．1．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1D．y＝－2x－1解析：因为y′＝ex＋xex＋2，所以曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率k＝y′x＝0＝3，∴切线方程为y＝3x－1.答案：A[集训冲关]2．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－12x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为()A.33B.333C.3D.393解析：y＝x3－1⇒y′＝3x2，y＝3－12x2⇒y′＝－x，由题意得3x20·(－x0)＝－1，解得x30＝13，即x0＝313＝393，故选D.答案：D3．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．解析：设A(m，n)，由y＝lnx，得y′＝1x，∴y′|x＝m＝1m，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程y－n＝1m(x－m)．又∵切线过点(－e，－1)，∴n＋1＝1m(m＋e)．又n＝lnm，解得m＝e，n＝1.∴点A的坐标为(e,1)．答案：(e,1)函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.f′(x)＞0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递减．反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增⇒f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减⇒f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．高频考点二导数与函数的单调性[典例](2019·天津高考节选)设函数f(x)＝excosx，求f(x)的单调区间．[解]由已知，有f′(x)＝ex(cosx－sinx)．因此，当x∈2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)时，有sinxcosx，得f′(x)0，则f(x)单调递减；当x∈2kπ－3π4，2kπ＋π4(k∈Z)时，有sinxcosx，得f′(x)0，则f(x)单调递增．所以f(x)的单调递增区间为2kπ－3π4，2kπ＋π4(k∈Z)，f(x)的单调递减区间为2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)．[类题通法]求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．[注意]求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．1．函数f(x)＝2x2－lnx的递增区间是()A.0，12B.－12，0和12，＋∞C.12，＋∞D.－∞，－12和0，12解析：由题意得f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，且x0，由f′(x)0，即4x2－10，解得x12.故选C.答案：C[集训冲关]2．已知函数f(x)＝－12x2＋2x－aex.(1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝－12x2＋2x－ex，则f(1)＝－12×12＋2×1－e＝32－e，f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－32－e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x＋12.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∵f(x)＝－12x2＋2x－aex，∴f′(x)＝－x＋2－aex，于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，即a≤2－xex在R上恒成立，令g(x)＝2－xex，则g′(x)＝x－3ex，令g′(x)＝0，解得x＝3，列表如下：x(－∞，3)3(3，＋∞)g′(x)－0＋g(x)减极小值－1e3增故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值，即g(x)min＝－1e3，所以a≤－1e3，即实数a的取值范围是－∞，－1e3.1．导数与函数单调性、极值的关系(1)f′(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．高频考点三导数与函数的极值、最值[典例](2019·北京高考)已知函数f(x)＝14x3－x2＋x.(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x；(3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)．当M(a)最小时，求a的值．[解](1)由f(x)＝14x3－x2＋x，得f′(x)＝34x2－2x＋1.令f′(x)＝1，即34x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝83.又f(0)＝0，f83＝827.所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x或y－827＝x－83，即y＝x或y＝x－6427.(2)证明：令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2,4]．由g(x)＝14x3－x2，得g′(x)＝34x2－2x.令g′(x)＝0得x＝0或x＝83.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如表所示：x－2(－2,0)04g′(x)＋0－0＋g(x)－60－0所以g(x)的最小值为－6，最大值为0.故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)由(2)知，当a－3时，M(a)＝F(0)＝|g(0)－a|＝－a3；当a－3时，M(a)＝F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a3；当a＝－3时，M(a)＝3.综上，当M(a)最小时，a＝－3.[类题通法]1．求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．2．求函数的最值的方法(1)求f(x)在(a，b)内的极值．(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．1．函数f(x)＝1＋3x－x3()A．有极小值，无极大值B．无极小值，有极大值C．无极小值，无极大值D．有极小值，有极大值解析：f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0，得x＝±1.当x∈(－1,1)时，f′(x)0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3，故选D.答案：D[集训冲关]2．已知函数f(x)＝1＋lnxx(x≥1)，(1)试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)若f(x)≥kx＋1恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)f′(x)＝－lnxx2，∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′(x)≤0.故函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．(2)∵x≥1，∴f(x)≥kx＋1⇔x＋11＋lnxx≥k，令g(x)＝x＋11＋lnxx，∴g′(x)＝[x＋11＋lnx]′x－x＋11＋lnxx2＝x－lnxx2.再令h(x)＝x－lnx，则h′(x)＝1－1x.∵x≥1，则h′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴[h(x)]min＝h(1)＝10，从而g′(x)0，故g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴[g(x)]min＝g(1)＝2，∴k≤2.故实数k的取值范围为(－∞，2].[解答思路]高频考点四生活中的优化问题[典例]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意知200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r＞0，又由h＞0可得r＜53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．[类题通法]利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正