（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用（部分） 1.4 生活中的优化问题举

考点一几何中的最值问题[典例]有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？1.4生活中的优化问题举例[解]设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)2x,0xa2.即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0xa2.实际问题归结为求V(x)在区间0，a2上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．在开区间0，a2内，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝16a，x2＝12a(舍去)．x1＝16a在区间0，a2内，x1可能是极值点．且当0xx1时，V′(x)0；当x1xa2时，V′(x)0.因此x1是极大值点，且在区间0，a2内，x1是唯一的极值点，所以x＝16a是V(x)的最大值点．即当截下的小正方形边长为16a时，容积最大．1．利用导数解决优化问题的基本思路2．几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．[类题通法][针对训练]1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．解析：设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2πr22πr，又圆柱的体积V＝πr2h＝r2(S－2πr2)＝rS－2πr32，V′(r)＝S－6πr22，令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大．又r＝S6π，∴h＝2S6π＝6πS3π.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6πS3π.答案：6πS3π2．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．解：设AD＝2x(0x2)，则A(x,0)，AB＝y＝4－x2，所以矩形面积为S(x)＝2x(4－x2)(0x2)，即S(x)＝8x－2x3，S′(x)＝8－6x2.令S′＝0，解得x1＝23，x2＝－23(舍去)．当0x23时，S′(x)0；当23x2时，S′(x)0，所以，当x＝23时，S(x)取得最大值，此时S(x)最大值＝3239.即矩形的长和宽分别为83，433时，矩形的面积最大.[典例]已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？考点二用料、费用最少问题[解]设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y元，由题意，得y＝y1·200v－8＝1000v2v－8，∴y′＝2000vv－8－1000v2v－82＝1000v2－16000vv－82.令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.∴当v0≥16时，v∈(8,16)，y′＜0，即y为减函数；v∈(16，v0]，y′＞0，即y为增函数，故v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；当v0＜16时，v∈(8，v0]，y′＜0，即y在(8，v0]上为减函数，故当v＝v0时，ymin＝1000v20v0－8，此时全程燃料费最省．综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32000元；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为1000v20v0－8元．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关．解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．[类题通法][针对训练]某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？解：设场地宽为xm，则长为128xm，因此新墙总长度为y＝2x＋128x(x＞0)，y′＝2－128x2，令y′＝0，∵x0，∴x＝8.因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省.[典例]某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；(2)若年销售量关于x的函数为y＝3240×－x2＋2x＋53，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？考点三利润最大问题[解](1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x)，年销售量为5000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0＜x＜1)．(2)本年度的年利润为f(x)＝(3－0.9x)×3240×－x2＋2x＋53＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)．令f′(x)＝0，解得x＝59或x＝3(舍去)．当0＜x＜59时，f′(x)＞0，当59＜x＜1时，f′(x)＜0，所以x＝59时，f(x)有最大值f59＝20000.所以当x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为20000万元．1．经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．2．关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．[类题通法][针对训练]工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p＝16－x，0x≤c，23，xc，(c为常数，且0c6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)解：(1)当xc时，p＝23，y＝1－23·x·3－23·x·32＝0；当0x≤c时，p＝16－x，∴y＝1－16－x·x·3－16－x·x·32＝39x－2x226－x.∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为y＝39x－2x226－x，0x≤c，0，xc，(c为常数，且0c6)．(2)由(1)知，当xc时，日盈利额为0.当0x≤c时，∵y＝39x－2x226－x，∴y′＝32·9－4x6－x＋9x－2x26－x2＝3x－3x－96－x2，令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)，∴①当0c3时，y′0，∴y在区间(0，c]上单调递增，∴y最大值＝f(c)＝39c－2c226－c.②当3≤c6时，在(0,3)上，y′0，在(3，c)上，y′0，∴y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减．∴y最大值＝f(3)＝92.综上，若0c3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大．