预习课本P29~31,思考并完成下列问题1.3.3函数的最大(小)值与导数(1)什么是函数的最值?函数在闭区间上取得最值的条件是什么?(2)函数的最值与极值有什么关系?(3)求函数最值的方法和步骤是什么?一、预习教材·问题导入1.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上取得最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是的曲线,那么它必有最大值和最小值.一条连续不断[提醒]对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念.(3)函数y=f(x)在[a,b]上连续,是函数y=f(x)在[a,b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件.二、归纳总结·核心必记2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y=f(x)在内的极值.(2)将函数y=f(x)的与端点处的函数值比较,其中的一个是最大值,的一个是最小值.(a,b)各极值f(a),f(b)最大最小[规律总结]函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最大值和最小值是一个整体性概念.(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个.(3)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值.()(2)开区间上的单调连续函数无最值.()(3)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.()××√三、基本技能·素养培优2.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是()A.-2B.0C.2D.4答案:C3.函数f(x)=3x+sinx在x∈[0,π]上的最小值为________.答案:14.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是________.答案:(-4,-2)考点一求函数的最值[典例]求下列函数的最值.(1)f(x)=4x3+3x2-36x+5,x∈[-2,+∞);(2)f(x)=sin2x-x,x∈-π2,π2.[解](1)f′(x)=12x2+6x-36,令f′(x)=0,得x=-2或x=32.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x-2-2,323232,+∞f′(x)0-0+f(x)57-1154所以f(x)在-2,32上为减函数,在32,+∞上为增函数.因此,函数f(x)在[-2,+∞)上只有最小值-1154,无最大值.(2)f′(x)=2cos2x-1.令f′(x)=2cos2x-1=0,解得x=π6或x=-π6.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:x-π2-π2,-π6-π6-π6,π6π6π6,π2π2f′(x)-0+0-f(x)π2π-33633-π6-π2由上表可知f(x)的最大值是π2,最小值是-π2.求函数最值的4个步骤[注意]求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.[类题通法][针对训练]已知函数f(x)=1-xx+lnx,求f(x)在12,2上的最大值和最小值.解:易知f(x)的定义域为(0,+∞),∵f(x)=1-xx+lnx=1x-1+lnx,∴f′(x)=-1x2+1x=x-1x2.令f′(x)=0,得x=1.当x变化时,f′(x)与f(x)在12,2上的变化情况如下表:x1212,11(1,2)2f′(x)-0+f(x)1-ln20-12+ln2∴在12,2上,当x=1时,f(x)取得极小值,也是最小值,且f(1)=0.又f12=1-ln2,f(2)=-12+ln2,∴f12-f(2)=32-2ln2=12×(3-4ln2)=12lne3160,∴f12f(2),∴f(x)在12,2上的最大值为f12=1-ln2,最小值为f(1)=0.考点二由函数的最值求参数的取值范围[典例]已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.[解]由题设知a≠0,否则f(x)=b为常数函数,与题设矛盾.f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).(1)当a0,则x变化时,f′(x),f(x)在[-1,2]上的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f′(x)+0-f(x)-7a+bb-16a+b由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3f(-1),∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.(2)当a0,则x变化时,f′(x),f(x)在[-1,2]上的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f′(x)-0+f(x)-7a+bb-16a+b当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29,又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29f(-1),∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值;(2)通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值;(3)结合已知求出参数,进而使问题得以解决.[类题通法][针对训练]已知函数f(x)=4x+ax(x0,a0)在x=3时取得最小值,求a的值.解:由题意知f′(x)=4-ax2=4x2-ax2.又x0,a0,令f′(x)=0,得x=a2,当0xa2时,f′(x)0;当xa2时,f′(x)0.故f(x)在0,a2上单调递减,在a2,+∞上单调递增,即当x=a2时,f(x)取得最小值,则a2=3,解得a=36.考点三与最值有关的恒成立问题[典例]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间.(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.[解](1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b,因为f′(1)=3+2a+b=0,f′-23=43-43a+b=0,解得a=-12,b=-2,所以f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x-∞,-23-23-23,11(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为-∞,-23和(1,+∞);单调递减区间为-23,1.(2)由(1)知,f(x)=x3-12x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-23时,f-23=2227+c为极大值,因为f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值.要使f(x)c2(x∈[-1,2])恒成立,只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2.故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f(x)h在区间[m,n]上恒成立,可先在区间[m,n]上求出函数的最大值f(x)max,只要hf(x)max,则上面的不等式恒成立.(2)要使不等式f(x)h在区间[m,n]上恒成立,可先在区间[m,n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min,只要f(x)minh,则不等式f(x)h恒成立.[类题通法][针对训练]1.若本例中条件不变,“把(2)中对x∈[-1,2],不等式f(x)c2恒成立”改为“若存在x∈[-1,2],不等式f(x)c2成立”,结果如何?解:由典例解析知当x=1时,f(1)=c-32为极小值,又f(-1)=12+cc-32,所以f(1)=c-32为最小值.因为存在x∈[-1,2],不等式f(x)c2成立,所以只需c2f(1)=c-32,即2c2-2c+3>0,解得c∈R.2.已知函数f(x)=13x3+ax+b(a,b∈R)在x=2处取得极小值-43.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若f(x)≤m2+m+103在[-4,3]上恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)f′(x)=x2+a,由f′(2)=0,得a=-4;再由f(2)=-43,得b=4.所以f(x)=13x3-4x+4,f′(x)=x2-4.令f′(x)=x2-40,得x2或x-2.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞).(2)因为f(-4)=-43,f(-2)=283,f(2)=-43,f(3)=1,所以函数f(x)在[-4,3]上的最大值为283.要使f(x)≤m2+m+103在[-4,3]上恒成立,只需m2+m+103≥283,解得m≥2或m≤-3.所以实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞).