（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用（部分） 1.3.1 函数的单调性与

预习课本P22～26，思考并完成下列问题1．3.1函数的单调性与导数(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？(2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？(3)怎样求函数的单调区间？一、预习教材·问题导入1.3导数在研究函数中的应用1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)0单调递___f′(x)0单调递___增减二、归纳总结·核心必记2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“”(向上或向下)越小慢比较“”(向上或向下)陡峭平缓[提醒]对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()××√三、基本技能·素养培优2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案：D3．设f(x)＝12x＋1x(x0)，则f(x)的单调递减区间为()A．(－∞，－2)B．(－2,0)C．(－∞，－2)D．(－2，0)答案：D4．函数f(x)＝sinx－2x在(－∞，＋∞)上是________(填“增”或“减”)函数．答案：减考点一判断或证明函数的单调性[典例]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－3a，讨论函数f(x)的单调性．[解]由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3axx－2a，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2a.当a0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)0.∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．若x∈0，2a，则f′(x)0，∴f(x)在区间0，2a上为减函数．若x∈2a，＋∞，则f′(x)0，∴f(x)在区间2a，＋∞上是增函数．当a0时，若x∈－∞，2a，则f′(x)0.∴f(x)在－∞，2a上是减函数．若x∈2a，0，则f′(x)0.∴f(x)在区间2a，0上为增函数．若x∈(0，＋∞)，则f′(x)0.∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．利用导数判断或证明函数单调性的思路[类题通法][针对训练]1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sinxB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析：y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x0，使y′0的情况．答案：B2．证明：函数y＝xsinx＋cosx在区间3π2，5π2内是增函数．证明：y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.∵x∈3π2，5π2，∴cosx0，∴y′0.即函数y＝xsinx＋cosx在3π2，5π2内是增函数.[典例]求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3x2－lnx；(2)f(x)＝－13ax3＋x2＋1(a≤0)．考点二求函数的单调区间[解](1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－1x＝6x2－1x，令f′(x)0，即6x2－1x0，∵x0，∴6x2－10，∴x66.令f′(x)0，即6x2－1x0，∵x0，∴6x2－10，∴0x66.∴f(x)的单调递增区间为66，＋∞，单调递减区间为0，66.(2)①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．②当a0时，f′(x)＝－ax2＋2x，f′(x)0⇔(－ax＋2)x0⇔x－2ax0⇔x0或x2a；f′(x)0⇔2ax0.故f(x)的单调递增区间为－∞，2a和(0，＋∞)，单调递减区间为2a，0.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．[注意]如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．[类题通法][针对训练]求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝－x3＋3x2；(2)f(x)＝exx－2.解：(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．当0x2时，f′(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x0或x2时，f′(x)0，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex0，(x－2)20.令f′(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；令f′(x)0，解得x3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).考点三利用导数求参数的取值范围[典例]若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．[解][法一直接法]f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a－11，即a2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知(1,4)⊂(1，a－1)且(6，＋∞)⊂(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．[法二数形结合法]f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．∵在(1,4)内f′(x)≤0，在(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，作出y＝f′(x)的示意图如图所示，则f′(x)＝0的另一根在[4,6]上．∴f′4≤0，f′6≥0，即3×5－a≤0，5×7－a≥0，∴5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．[法三转化为不等式的恒成立问题]f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2x＋15，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋17，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．1．利用导数法解决参数取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)0(或f′(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.[类题通法][针对训练]已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的函数取值范围．解：函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2＋6x－1.由题设知f(x)在R上是减函数，∴f′(x)≤0对x∈R恒成立，即3ax2＋6x－1≤0在R上恒成立，∴a0，Δ＝36＋12a≤0，∴a≤－3.当a＝－3时，f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，有且仅有f′13＝0，故a的取值范围是(－∞，－3]．