（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用（部分） 1.1.1 变化率问题 1

1．1.1&1.1.2变化率问题导数的概念1.1变化率与导数预习课本P2～6，思考并完成下列问题(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？一、预习教材·问题导入1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝.(2)实质：的改变量与的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的．(4)平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx为割线AB的斜率，如图所示．fx2－fx1x2－x1函数值自变量快慢二、归纳总结·核心必记[提醒]Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率[规律总结]“Δx无限趋近于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.定义式0limxΔyΔx＝实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，趋近的值作用刻画函数在处变化的快慢0limxfx0＋Δx－fx0Δx平均变化率某一点3．导数的概念定义式0limxΔyΔx＝记法或y′|x＝x0实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δxf′(x0)瞬时变化率[点睛]函数f(x)在x0处的导数(1)当Δx≠0时，比值ΔyΔx的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．(2)在点x＝x0处的导数的定义可变形为f′(x0)＝limΔx→0fx0－Δx－fx0－Δx或f′(x0)＝limxfx－fx0x－x0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()√××三、基本技能·素养培优2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)答案：D3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为()A．4B．4xC．4.2D．4.02答案：C4．在f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx中，Δx不可能为()A．大于0B．小于0C．等于0D．大于0或小于0答案：C[典例]求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解]在x＝1附近的平均变化率为k1＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；考点一求函数的平均变化率在x＝3附近的平均变化率为k3＝f3＋Δx－f3Δx＝3＋Δx2－32Δx＝6＋Δx；若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193，由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.(3)求平均变化率ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0.[注意]Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.[类题通法]已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较在两个区间上变化的快慢．解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f2－f12－1＝12.自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f5－f35－3＝1415.由于121415，所以函数f(x)＝x＋1x在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢.[针对训练][典例]一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解](1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，ΔsΔt＝3Δt－Δt2Δt＝3－Δt，0limtΔsΔt＝0limt(3－Δt)＝3.∴物体的初速度为3.考点二求瞬时速度(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，ΔsΔt＝－Δt－Δt2Δt＝－1－Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度v＝ΔsΔt；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[类题通法][针对训练]一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s＝12gt2(g＝10m/s2，位移单位：m，时间单位：s)，求物体在t＝2s时的瞬时速度．解：因为Δs＝12g(2＋Δt)2－12g×22＝2gΔt＋12g(Δt)2，所以ΔsΔt＝2gΔt＋12gΔt2Δt＝2g＋12gΔt，所以limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→02g＋12gΔt＝2g，所以物体在t＝2s时的瞬时速度为20m/s.[典例](1)函数f(x)＝12＋3x在x＝1处的导数为________．(2)已知函数f(x)在x＝x0处的导数为4，则limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝________.[解析](1)因为ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝12＋31＋Δx－12＋3×1Δx＝－3Δx55＋3ΔxΔx＝－355＋3Δx，所以f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－355＋3Δx＝－325.考点三求函数在某点处的导数(2)limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx×2＝2limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝2f′(x0)＝2×4＝8.[答案](1)－325(2)81．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤简称：一差、二比、三极限．[类题通法]2．瞬时变化率的变形形式limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0fx0－Δx－fx0－Δx＝limΔx→0fx0＋nΔx－fx0nΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0－Δx2Δx＝f′(x0)．[类题通法][针对训练]1．求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．解：因为Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－1－1＝Δx＋Δx1＋Δx，所以ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，所以函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.2．已知f′(1)＝－2，求limΔx→0f1－2Δx－f1Δx的值．解：limΔx→0f1－2Δx－f1Δx＝(－2)×limΔx→0f1－2Δx－f1－2Δx＝(－2)×(－2)＝4.