（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式

预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？3．2.2复数代数形式的乘除运算一、预习教材·问题导入1．复数代数形式的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝.2．复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝______结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)分配律z1(z2＋z3)＝___________(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1z2＋z1z3二、归纳总结·核心必记3．共轭复数已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是.4．复数代数形式的除法法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝a＋bic＋di＝.(c＋di≠0)．a＝c且b＝－da＝c且b＝－d≠0ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i[提醒]在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()(2)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．()××√三、基本技能·素养培优2．若复数满足z＝i(1－i)，则|z|＝()A.1B.2C.2D.3答案：B3．已知i是虚数单位，则3＋i1－i＝()A．1－2iB．2－IC．2＋iD．1＋2i答案：D4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝________.答案：－11考点一复数代数形式的乘法运算[典例]计算下列各题．(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.1．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开．(2)再将i2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i.[类题通法][针对训练]1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝()A．2－13iB．13＋2iC．13－13iD．－13－2i解析：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.答案：D2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以a＋1＜0，1－a＞0，解得a＜－1.答案：B[典例](1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i考点二复数代数形式的除法运算[解析](1)由z(1＋i)＝2i，得z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝2i1－i2＝i(1－i)＝1＋i.(2)∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝11＋7i2－i＝11＋7i2＋i2－i2＋i＝15＋25i5＝3＋5i.(2)∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝11＋7i2－i＝11＋7i2＋i2－i2＋i＝15＋25i5＝3＋5i.[答案](1)D(2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)1i＝－i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i.[类题通法][针对训练]1．(2019·浙江高考)复数z＝11＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.解析：∵z＝11＋i＝1－i1＋i1－i＝1－i2＝12－12i，∴|z|＝122＋－122＝22.答案：222．计算：1＋i4＋3i2－i1－i＝________.解析：法一：1＋i4＋3i2－i1－i＝1＋7i1－3i＝1＋7i1＋3i10＝－2＋i.法二：1＋i4＋3i2－i1－i＝1＋i1－i4＋3i2－i＝i4＋3i2＋i5＝－3＋4i2＋i5＝－10＋5i5＝－2＋i.答案：－2＋i考点三共轭复数[典例](1)(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·z－＝()A.3B.5C．3D．5(2)已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则zz－＝________.[解析](1)∵z＝2＋i，∴z－＝2－i.∴z·z－＝(2＋i)(2－i)＝5.(2)因为(1＋2i)z＝4＋3i，所以z＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i5＝2－i，故z＝2＋i，zz＝2－i2＋i＝2－i25＝3－4i5＝35－45i.[答案](1)D(2)35－45i处理与共轭复数有关问题的思路当已知条件为含有一个或多个复数z(或其共轭复数)的等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．[类题通法][针对训练]1．已知i为虚数单位，若复数z＝1＋2i2－i，z的共轭复数为z，则z·z＝()A．1B．－1C．259D．－259解析：依题意，得z＝1＋2i2＋i2－i2＋i＝i，所以z＝－i，所以z·z＝i·(－i)＝1.答案：A2．若复数z满足|z|－z＝101－2i，则z＝________.解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则a2＋b2－a＋bi＝2＋4i，∴a2＋b2－a＝2，b＝4，∴a＝3，b＝4，∴z＝3＋4i.答案：3＋4i