（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式

预习课本P107～108，思考并完成下列问题(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？3．2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义3.2复数代数形式的四则运算一、预习教材·问题导入复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1，z2，z3∈C，设OZ1―→，OZ2―→分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且OZ1―→，OZ2―→不共线加法减法运算法则z1＋z2＝_______________z1－z2＝_______________(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i二、归纳总结·核心必记几何意义复数的和z1＋z2与向量OZ1―→＋OZ2―→＝OZ―→的坐标对应复数的差z1－z2与向量OZ1―→－OZ2―→＝Z2Z1――→的坐标对应交换律z1＋z2＝_________运算律结合律(z1＋z2)＋z3＝___________z1＋(z2＋z3)z2＋z1[提醒]对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．()×××三、基本技能·素养培优2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于()A．8iB．6C．6＋8iD．6－8i答案：B3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA―→和OB―→，其中O为坐标原点，则|AB―→|等于()A．2B．2C．10D．4答案：B4．(5－i)－(3－i)－5i＝________.答案：2－5i[典例](1)计算：13＋12i＋(2－i)－43－32i.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.[解](1)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－43＋12－1＋32i＝1＋i.(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，考点一复数代数形式的加、减运算所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．[类题通法][针对训练]1．－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.解析：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.答案：－10i2．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以a2－2a－3＝0，a2－1≠0，解得a＝3.答案：3[典例]如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)AO―→表示的复数；(2)对角线CA―→表示的复数；(3)对角线OB―→表示的复数．考点二复数加减运算的几何意义[解](1)因为AO―→＝－OA―→，所以AO―→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA―→＝OA―→－OC―→，所以对角线CA―→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB―→＝OA―→＋OC―→，所以对角线OB―→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．[类题通法][针对训练]已知平行四边形ABCD中，AB―→与AC―→对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．(1)求AD―→对应的复数；(2)求DB―→对应的复数．解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以AC―→＝AB―→＋AD―→，于是AD―→＝AC―→－AB―→，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即AD―→对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB―→＝AB―→－AD―→，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，所以DB―→对应的复数是5.[典例](1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1B．12C．2D．5(2)若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．考点三复数模的最值问题[解析](1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.[答案]A(2)如图所示，|OM―→|＝－32＋－12＝2.所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.[针对训练]1．若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．解：因为|z|＝1且z∈C，作图如图：所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝22－1.2．若题(2)中条件不变，求|z－3|2＋|z－2i|2的最大值和最小值．解：如图所示，在圆面上任取一点P，与复数zA＝3，zB＝2i对应点A，B相连，得向量PA―→，PB―→，再以PA―→，PB―→为邻边作平行四边形．P为圆面上任一点，zP＝z，则2|PA―→|2＋2|PB―→|2＝|AB―→|2＋(2|PO′―→|)2＝7＋4|PO′―→|2，(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，所以|z－3|2＋|z－2i|2＝127＋4z－32－i2.而z－32－imax＝|O′M|＋1＝1＋432，z－32－imin＝|O′M|－1＝432－1.所以|z－3|2＋|z－2i|2的最大值为27＋243，最小值为27－243.