（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意

预习课本P104～105，思考并完成下列问题(1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？3．1.2复数的几何意义一、预习教材·问题导入1．复平面二、归纳总结·核心必记2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)2复数z＝a＋bia，b∈R.3．复数的模(1)定义：向量OZ―→的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模．(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为.(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．模|z|或|a＋bi|a2＋b2复平面内的点Za，b平面向量OZ―→[规律总结]实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．()√××三、基本技能·素养培优2．复数z＝－1＋3i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是()A．z＝1＋2iB．z＝1－2iC．z＝－1＋2iD．z＝－2＋i答案：B4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.答案：5[典例]求实数a分别取何值时，复数z＝a2－a－6a＋3＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方．考点一复数与点的对应关系[解](1)点Z在复平面的第二象限内，则a2－a－6a＋3＜0，a2－2a－15＞0，解得a＜－3.(2)点Z在x轴上方，则a2－2a－15＞0，a＋3≠0，即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．[类题通法][针对训练]1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．解：点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5.故a＝5时，点Z在x轴上．2．本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，所以a2－a－6a＋3＋a2－2a－15＋7＝0，即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±15.所以a＝－2或a＝±15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．[典例](1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝()A．1＋2iB．－1－2iC．1±2iD．1＋2i或－1－2i(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)考点二复数的模[解析](1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝5得a2＋4a2＝5，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.(2)因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.[答案](1)D(2)B复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．[类题通法][针对训练]1．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．解析：由|z|＝1＋4m2≤2，解得－32≤m≤32.答案：－32，322．求复数z1＝6＋8i与z2＝－12－2i的模，并比较它们的模的大小．解：∵z1＝6＋8i，z2＝－12－2i，∴|z1|＝62＋82＝10，|z2|＝－122＋－22＝32.∵1032，∴|z1||z2|.考点三复数与复平面内向量的关系[典例]向量OZ1―→对应的复数是5－4i，向量OZ2―→对应的复数是－5＋4i，则OZ1―→+OZ2―→对应的复数是()A．－10＋8iB．10－8iC．0D．10＋8i[解析]因为向量OZ1―→对应的复数是5－4i，向量OZ2―→对应的复数是－5＋4i，所以OZ1―→＝(5,－4),OZ2―→＝(－5,4)，所以OZ1―→+OZ2―→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ1―→+OZ2―→对应的复数是0.[答案]C复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．(3)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z－z1|表示点Z到点Z1之间的距离．如|z－i|＝1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1.[类题通法][针对训练]1．在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是()A．23B．－23iC.3－3iD．3＋3i解析：复数对应的点为(3，－3)，对应的向量按顺时针方向旋转π3，则对应的点为(0，－23)，所得向量对应的复数为－23i.故选B.答案：B2．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．OC―→OA―→OB―→解析：由复数的几何意义可知，＝x＋y，即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，由复数相等可得y－x＝3，2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4.∴x＋y＝5.OC―→OA―→OB―→答案：5