（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明（部分） 2.3 数学归纳法课件 新人

预习课本P92～95，思考并完成下列问题(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？(2)数学归纳法的证题步骤是什么？2.3数学归纳法一、预习教材·问题导入1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与有关的命题，可按下列步骤进行正整数n只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．二、归纳总结·核心必记2．数学归纳法的框图表示[提醒]数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．()××√三、基本技能·素养培优2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，则n＝1时，f(n)＝()A．1B．13C．1＋12＋13D．以上答案均不正确答案：C3．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3，f(32)＞72，由此推测，当n＞2时，有______________．答案：f(2n)＞n＋22考点一用数学归纳法证明等式[典例]求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)．[证明](1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．用数学归纳法证明恒等式应注意的三点用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．[类题通法][针对训练]用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝13n·(4n2－1)(n∈N*)．证明：①当n＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝13k(4k2－1)，则当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝13k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝13k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2＝13(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]＝13(2k＋1)(2k2＋5k＋3)＝13(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)＝13(k＋1)(4k2＋8k＋3)＝13(k＋1)[4(k＋1)2－1]，即当n＝k＋1时，等式成立．由①②可知，对一切n∈N*等式成立.[证明](1)当n＝2时，13＋14＋15＋16＞56，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立．即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＞56.[典例]求证：1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＞56(n≥2，n∈N*)考点二用数学归纳法证明不等式则当n＝k＋1时，1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋（13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1）＞56＋（13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1）＞56＋（3×13k＋3－1k＋1）＝56.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立．用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点关键点一验证第1个n的取值时，要注意n0不一定为1，若条件为n＞k，则n0＝k＋1关键点二证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”关键点三应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明n＝k＋1时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程关键点四证明n＝k＋1成立时，应加强目标意识，即要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放得过大”或“缩得过小”[类题通法][针对训练]已知n∈N*，n＞2，求证：1＋12＋13＋…＋1n＞n＋1.证明：(1)当n＝3时，左边＝1＋12＋13，右边＝3＋1＝2，左边＞右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k＞k＋1.当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1＞k＋1＋1k＋1＝k＋1＋1k＋1＝k＋2k＋1.因为k＋2k＋1＞k＋2k＋2＝k＋2＝k＋1＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1＞k＋1＋1.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立.[典例]已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn是2a与－2nan的等差中项，其中a是不为0的常数．(1)求a1，a2，a3.(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明．考点三归纳—猜想—证明[解](1)由题意知Sn＝a－nan，当n＝1时，S1＝a1＝a－a1，解得a1＝a2.当n＝2时，S2＝a1＋a2＝a－2a2，解得a2＝a6.当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝a－3a3，解得a3＝a12.(2)猜想：an＝ann＋1(n∈N*)证明：①当n＝1时，由(1)知等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即ak＝akk＋1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝a－(k＋1)ak＋1－(a－kak)，所以ak＋1＝ak＋1k＋2＝ak＋1[k＋1＋1].即当n＝k＋1时，等式成立．结合①②得an＝ann＋1对任意n∈N*均成立．1.“归纳—猜想—证明”的一般环节[类题通法]2.“归纳—猜想—证明”的主要题型（1）已知数列的递推公式，求通项或前n项和．（2）由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．（3）给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．[类题通法][针对训练]数列{an}中，a1＝1，a2＝14，且an＋1＝n－1ann－an(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明．解：∵a2＝14，且an＋1＝n－1ann－an(n≥2)，∴a3＝a22－a2＝142－14＝17，a4＝2a33－a3＝2×173－17＝110.猜想：an＝13n－2(n∈N*)．下面用数学归纳法证明猜想正确．(1)当n＝1,2易知猜想正确．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时猜想正确，即ak＝13k－2.当n＝k＋1时，ak＋1＝k－1akk－ak＝k－1·13k－2k－13k－2＝k－13k－23k2－2k－13k－2＝k－13k2－2k－1＝k－13k＋1k－1＝13k＋1＝13k＋1－2∴n＝k＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N*都正确．