（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明（部分） 2.2.2 反证法课件 新人

预习课本P89～91，思考并完成下列问题(1)反证法的定义是什么？有什么特点？(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？2．2.2反证法一、预习教材·问题导入1．反证法的定义及证题的关键二、归纳总结·核心必记[规律总结]对反证法概念的理解(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()√×√三、基本技能·素养培优2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°答案：A4．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”，假设的内容应是________．答案：3a≤3b考点一用反证法证明否定性命题[典例]直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：x24＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．当点B在W上且不是W的顶点时，求证：四边形OABC不可能为菱形．[证明]假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由x2＋4y2＝4，y＝kx＋m消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x22＝－4km1＋4k2，y1＋y22＝k·x1＋x22＋m＝m1＋4k2，设AC的中点为M，则M－4km1＋4k2，m1＋4k2，因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－14k.因为k·－14k≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以四边形OABC不可能是菱形．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[类题通法][针对训练]如果a，b，c是不全相等的实数，且a，b，c成等差数列，求证：1a，1b，1c不成等差数列．证明：假设1a，1b，1c成等差数列，则2b＝1a＋1c＝a＋cac.由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.①所以2b＝a＋cac＝2bac，即b2＝ac.②由①②，得a＝b＝c，这与a，b，c是不全相等的实数矛盾．故1a，1b，1c不成等差数列.[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：4a2－4－4a＋3＜0，a－12－4a2＜0，2a2＋4×2a＜0⇒－32＜a＜12，a＞13或a＜－1，⇒－32＜a＜－1，－2＜a＜0.这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．[典例]已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．考点二用反证法证明“至多”“至少”问题用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．[类题通法][针对训练]1．将本例改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．解：若方程没有一个有实根，则16a2－43－4a＜0，a－12－4a2＜0，4a2＋8a＜0，解得－32＜a＜12，a＞13或a＜－1，即－32＜a＜－1，－2＜a＜0.故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是－∞，－32∪[－1，＋∞)．2．将本例条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围．解：假设三个方程都有实数根，则4a2－4－4a＋3≥0，a－12－4a2≥0，2a2＋4×2a≥0，即4a2＋4a－3≥0，3a2＋2a－1≤0，a2＋2a≥0，解得a≤－32或a≥12，－1≤a≤13，a≤－2或a≥0.即a∈∅.所以实数a的取值范围为实数R.3．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1，∴ac＋bd＋bc＋ad＝1.而ac＋bd＋bc＋ad＞ac＋bd＞1，与上式矛盾，∴假设不成立，∴a，b，c，d中至少有一个是负数．[典例]设a1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．考点三用反证法证明唯一性命题[证明]因为a1，所以f(0)＝1－a0，f(lna)＝(1＋ln2a)elna－a＝aln2a0，所以f(0)·f(lna)0，由零点存在性定理可知f(x)在(0，lna)内存在零点．假设至少有2个零点，则f(x)在(－∞，＋∞)上不单调．由已知得f′(x)＝(1＋x2)′ex＋(1＋x2)(ex)′＝(1＋x)2ex≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，矛盾，∴假设不成立，则f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．[类题通法][针对训练]求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．证明：已知：直线b∥a，A∉a，A∈b，求证：直线b唯一．假设过点A还有一条直线b′∥a.根据平行公理，∵b∥a，∴b∥b′，与b∩b′＝A矛盾，∴假设不成立，原命题成立．