（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明（部分） 2.2.1 综合法和分析法课

2.2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法预习课本P85～89，思考并完成下列问题(1)综合法的定义是什么？有什么特点？(2)综合法的推证过程是什么？(3)分析法的定义是什么？有什么特点？(4)分析法与综合法有什么区别和联系？一、预习教材·问题导入1．综合法定义推证过程特点利用和某些数学、、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示，已有的、、等，Q表示).顺推证法或由因导果法已知条件定义公理定理所要证明的结论定义公理定理推理论证已知条件二、归纳总结·核心必记2.分析法定义框图表示特点从要证明的，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、、、等)为止．这种证明方法叫做分析法Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→逆推证法或执果索因法得到一个明显成立的条件结论出发充分条件定理定义公理3．综合法、分析法的区别综合法分析法推理方向顺推，由因导果倒溯，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考表述形式形式简洁，条理清晰叙述繁琐，易出错思考的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息[提醒]一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)分析法就是从结论推向已知．()(3)所有证明的题目均可使用分析法证明．()×××三、基本技能·素养培优2．若a＞b＞0，则下列不等式中不正确的是()A．a2＞abB．ab＞b2C．1a＞1bD．a2＞b2答案：C3．欲证2－3＜6－7成立，只需证()A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(3＋6)2D．(2－3－6)2＜(－7)2答案：C答案：a＞b＞04．如果aa＞bb，则实数a，b应满足的条件是________．考点一综合法的应用[典例]设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；(2)若数列{an}的公比为q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝32f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：1bn为等差数列．[证明](1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man，∴an＋1an＝2mm＋3(m≠－3)，又m为常数，∴{an}为等比数列．(2)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，又m≠－3，∴a1＝1，∴b1＝a1＝1，由(1)，可得q＝f(m)＝2mm＋3(m≠－3)，∴n∈N*且n≥2时，bn＝32f(bn－1)＝32·2bn－1bn－1＋3，∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1，又易知bn≠0，∴1bn－1bn－1＝13.∴数列1bn是首项为1，公差为13的等差数列．综合法的解题步骤[类题通法][针对训练]1．已知a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边，∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.证明：∵a2＝b(b＋c)，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－b2＋bc2bc＝c－b2b，cos2B＝2cos2B－1＝2a2＋c2－b22ac2－1＝2b＋c2a2－1＝b＋c2－2bb＋c2bb＋c＝c－b2b，∴cosA＝cos2B.又A，B是三角形的内角，∴A＝2B.考点二分析法的应用[典例]设a，b为实数，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．[证明]当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．当a＋b＞0时，用分析法证明如下：要证a2＋b2≥22(a＋b)，只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2.即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．[类题通法][针对训练]已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角．证明：要证B为锐角，根据余弦定理，只需证明cosB＝a2＋c2－b22ac0，即证a2＋c2－b20.由于a2＋c2－b2≥2ac－b2，要证a2＋c2－b20，只需证2ac－b20.∵a，b，c的倒数成等差数列，∴1a＋1c＝2b，即2ac＝b(a＋c)．要证2ac－b20，只需证b(a＋c)－b20，即b(a＋c－b)0，上述不等式显然成立，∴B为锐角.[典例]已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三个内角对应的边长，求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.考点三分析法与综合法的综合应用证明：法一：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1.即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列．∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．法二：∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列．∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2，∴c2＋a2＋bc＋ab＝ac＋b2＋bc＋ab，即c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，等式两边同除以(a＋b)(b＋c)，得ca＋b＋ab＋c＝1.∴1＋ca＋b＋1＋ab＋c＝3，即a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，∴1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．[类题通法][针对训练]证明函数f(x)＝log2(x2＋1＋x)是奇函数．证明：∵x2＋1|x|，∴x2＋1＋x0恒成立，∴f(x)＝log2(x2＋1＋x)的定义域为R，∴要证函数y＝log2(x2＋1＋x)是奇函数，只需证f(－x)＝－f(x)，只需证log2(x2＋1－x)＋log2(x2＋1＋x)＝0，只需证log2[(x2＋1－x)(x2＋1＋x)]＝0，∵(x2＋1－x)(x2＋1＋x)＝x2＋1－x2＝1，而log21＝0.∴上式成立．故函数f(x)＝log2(x2＋1＋x)是奇函数.