（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第二章 概率（部分）习题课课件 新人教A版选修2-3

习题课二提升关键能力(概率部分高频考点一古典概型1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，当事件A与B对立时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝mn求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．[典例]甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[解]甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示．(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.[类题通法]解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[集训冲关]1．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为()A．13B．110C．25D．310解析：设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P＝310.答案：D2．随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3000名学生的体重发育评价情况，得下表：偏痩正常肥胖女生/人300865y男生/人x885z已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15.(1)求x的值；(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？(3)已知y≥243，z≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知x3000＝0.15，所以x＝450.(2)由题意，可知肥胖学生人数为y＋z＝500(人)．设应在肥胖学生中抽取m人，则m500＝603000.所以m＝10.即应在肥胖学生中抽10名．(3)由题意，可知y＋z＝500，且y≥243，z≥243，满足条件的基本事件如下：(243,257)，(244,256)，…，(257,243)，共有15组．设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，满足条件的(y，z)的基本事件有：(243,257)，(244,256)，…，(250,250)，共有8组，所以P(A)＝815.所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为815.高频考点二条件概率条件概率的性质(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．[典例]口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？[解]记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球．(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个，所以P(A)＝4×56×5＝23.(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个，所以P(AB)＝4×36×5＝25.(3)利用条件概率的计算公式，可得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2523＝35.[类题通法]条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝P(AB)P(B)或P(B|A)＝P(AB)P(A)求解．(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝n(AB)n(A)求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．[集训冲关]1．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为．解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意知n(A)＝C39＝84，n(AB)＝C24＝6，∴P(B|A)＝n(AB)n(A)＝684＝114.答案：1142．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率．(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成最简分式形式)．解：设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C．(1)此人患色盲的概率P＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝100200×5100＋100200×0.25100＝21800.(2)由(1)得P(AC)＝5200，又因为P(C)＝21800，所以P(A|C)＝P(AC)P(C)＝520021800＝2021.高频考点三相互独立事件的概率与二项分布(1)若事件A与B相互独立，则事件A与B，A与B，A与B分别相互独立，且有P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(3)在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(4)二项分布满足的条件与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．[典例]某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．[解]设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝45，P(B)＝35，P(C)＝710.(1)∵A，B，C相互独立，∴恰有一名同学当选的概率为P(A·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－45×35×710＝83125.[类题通法]求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A＋B)＝1－P(AB)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．[集训冲关]1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是．解析：用间接法考虑，事件A，B一个都不发生的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝12×56＝512，则事件A，B中至少有一件发生的概率P＝1－P(AB)＝712.答案：7122．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．解：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为：P＝C15·23·134＋135，所以所求的概率为1－P＝1－C15·23·134＋135＝232243.(2)当ξ＝4时记事件A，则P(A)＝C13·23·132·23＝427.当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B．则P(B)＝C14·23·133＋134＝19，所以所求概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝427＋19＝727.高频考点四离散型随机变量的期望与方差(1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再按期望与方差的计算公式计算．(2)要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分布、超几何分布)．(3)注意期望与方差的性质．(4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达．[典例](全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？[解](1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0