（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第二章 概率（部分） 2.5.1 离散型随机变量的均值课

2．5离散型随机变量的均值与方差2．5.1离散型随机变量的均值一、预习教材·问题导入预习课本P60～63，思考并完成以下问题1．什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分布列求出均值？2．离散型随机变量的均值有什么性质？3．两点分布、二项分布的均值是什么？二、归纳总结·核心必记1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平2．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量且P(Y＝axi＋b)＝，i＝1,2，…，n，E(Y)＝E(aX＋b)＝．3．两点分布与二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝.P(X＝xi)aE(X)＋Bnp[提醒]两点分布与二项分布的关系(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值X＝0,1，2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．三、基本技能·素养培优1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．()(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7.()××√2．已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()A．32B．2C．52D．3答案：A3．设随机变量X～B(16，p),且E(X)＝4,则p＝.答案：144．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击3次中靶次数X的均值为．答案：2.4[典例]某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数ξ的分布列及均值E(ξ)．考点一求离散型随机变量的均值[解](1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A，B，C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝16.P(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝16×56×56＝25216.故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝Ck316k563－k，k＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C03×160×563＝125216；P(ξ＝1)＝C13×16×562＝2572；P(ξ＝2)＝C23×162×56＝572，P(ξ＝3)＝C33×163×160＝1216.所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123P12521625725721216E(ξ)＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝12.[类题通法]求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X)．其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．[针对训练]1．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X,乙击中目标的次数为Y，(1)求X的概率分布列；(2)求X和Y的数学期望．解：(1)已知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck312k123－k.则P(X＝0)＝C03×123＝18；P(X＝1)＝C13×12×122＝38；P(X＝2)＝C23×122×12＝38；P(X＝3)＝C33×123＝18.所以X的概率分布列如下表：X0123P18383818(2)由(1)知E(X)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5，或由题意X～B3，12，Y～B3，23，∴E(X)＝3×12＝1.5，E(Y)＝3×23＝2.2．某运动员投篮投中的概率P＝0.6.(1)求一次投篮时投中次数ξ的数学期望．(2)求重复5次投篮时投中次数η的数学期望．解：(1)ξ的分布列为：ξ01P0.40.6则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，即一次投篮时投中次数ξ的数学期望为0.6.(2)η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．∴E(η)＝np＝5×0.6＝3，即重复5次投篮时投中次数η的数学期望为3.[典例]已知随机变量X的分布列为：X－2－1012P141315m120若Y＝－2X，则E(Y)＝.考点二离散型随机变量均值的性质[解析]由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1,解得m＝16，∴E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×－1730＝1715.[答案]1715[类题通法]与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(η)．[针对训练]1．本例条件不变，若Y＝2X－3,求E(Y)．解：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b及E(X)＝－1730得，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－1730－3＝－6215.2．本例条件不变，若ξ＝aX＋3,且E(ξ)＝－112，求a的值．解：∵E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－112，∴a＝15.[典例]某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．考点三均值的实际应用[解](1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P(A)＝(1－0.4)3＝0.216，P(A)＝1－P(A)＝1－0.216＝0.784.(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及均值E(η)．(2)η的可能取值为200元，250元，300元．P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，因此η的分布列为η200250300P0.40.40.2E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．[类题通法]1．实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．[针对训练]甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与数学期望．解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12，(k＝1,2,3)．ξ的所有可能值为1,2,3.由独立性知P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2)＝23×12×13＋232×122＝29，P(ξ＝3)＝P(A1B1A2B2)＝232×122＝19.综上知，ξ的分布列为ξ123P232919数学期望为E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.