（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第二章 概率（部分） 2.4.3 独立重复试验与二项分布

2．4.3独立重复试验与二项分布一、预习教材·问题导入预习课本P56～57，思考并完成以下问题1．独立重复试验及二项分布的定义分别是什么？2．两点分布与二项分布之间有怎样的关系？二、归纳总结·核心必记1．独立重复试验在条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为_______________________，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～，并称p为．相同B(n，p)成功概率P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k[点睛]两点分布与二项分布的区别两点分布二项分布区别只要两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发生在每次试验中只有两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发生．但在n次独立重复试验中共有n＋1个结果三、基本技能·素养培优1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的．()(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果．()(3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的．()√×√2．已知X～B6，13，则P(X＝4)＝.答案：202433．连续掷一枚硬币5次，恰好有3次出现正面向上的概率是．答案：5164．某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为．答案：0.648[典例]某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9，求他至少有2次中靶的概率．[解][法一直接法]在5次射击中恰好有2次中靶的概率为C25×0.92×0.13；在5次射击中恰好有3次中靶的概率为C35×0.93×0.12；在5次射击中恰好有4次中靶的概率为C45×0.94×0.1；在5次射击中5次均中靶的概率为C55×0.95.考点一独立重复试验概率的求法所以至少有2次中靶的概率为C25×0.92×0.13＋C35×0.93×0.12＋C45×0.94×0.1＋C55×0.95＝0.0081＋0.0729＋0.32805＋0.59049＝0.99954.[法二间接法]至少有2次中靶的对立事件是至多有1次中靶，它包括恰好有1次中靶与全没有中靶两种情况，显然这是两个互斥事件．在5次射击中恰好有1次中靶的概率为C15×0.9×0.14；在5次射击中全没有中靶的概率为0.15，所以至少有2次中靶的概率为1－C15×0.9×0.14－0.15＝1－0.00045－0.00001＝0.99954.[类题通法]独立重复试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．(2)运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．[针对训练]某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝35×1－35×35×1－35×35＝1083125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C35种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型．故所求概率为P＝C35×353×1－352＝216625.(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C13种情况．故所求概率为P＝C13·353·1－352＝3243125.[典例]已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的概率分布列．(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．考点二二项分布问题[解](1)由题意，随机变量X可能取值为0,1,2,3，则X～B3，13.即P(X＝0)＝C031301－133＝827，P(X＝1)＝C131311－132＝49，P(X＝2)＝C231321－131＝29，P(X＝3)＝C33133＝127.所以X的概率分布列为X0123P8274929127(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P＝C36133×1－133×13＝1602187.[类题通法]判断一个随机变量是否服从二项分布的关键(1)对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一．(2)重复性，即试验独立重复地进行了n次．(3)随机变量是事件发生的次数．[针对训练]1．已知X～B10，13，则P(X＝2)＝.解析：P(X＝2)＝C210132238＝12806561.答案：128065612．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．解：由题意可知：X～B3，34，所以P(X＝k)＝Ck334k·143－k，k＝0,1,2,3.即P(X＝0)＝C03×340×143＝164；P(X＝1)＝C13×34×142＝964；P(X＝2)＝C23×342×14＝2764；P(X＝3)＝C33×343＝2764.分布列为X0123P16496427642764