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物理第八章磁场题型探究课四带电粒子在复合场中的运动01题型探究以例说法02达标检测巩固提能带电粒子在组合场中的运动【题型解读】组合场是指电场、磁场同时存在，但各位于一定的区域内(或电场、磁场交替存在，位于同一指定的区域内)．若带电粒子速度方向与磁场方向平行，则在磁场中做匀速直线运动；若带电粒子垂直进入磁场，则做匀速圆周运动．而在电场中，若速度方向与电场线在同一直线上，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场线垂直，则做类平抛运动．解决带电粒子在组合场中的运动问题，所需知识如下：【典题例析】(2019·4月浙江选考)有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图所示．左侧静电分析器中有方向指向圆心O、与O点等距离各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零．离子源发出两种速度均为v0、电荷量均为q、质量分别为m和0.5m的正离子束，从M点垂直该点电场方向进入静电分析器．在静电分析器中，质量为m的离子沿半径为r0的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从N点水平射出，而质量为0.5m的离子恰好从ON中点P与水平方向成θ角射出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为m的离子打在O点正下方的Q点．已知OP－＝0.5r0，OQ－＝r0，N、P两点间的电势差UNP＝mv20q，cosθ＝45，不计重力和离子间相互作用．(1)求静电分析器中半径为r0处的电场强度E0和磁分析器中的磁感应强度B的大小；(2)求质量为0.5m的离子到达探测板上的位置与O点的距离l(用r0表示)；(3)若磁感应强度在(B－ΔB)到(B＋ΔB)之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为m和0.5m的两束离子，求ΔBB的最大值．[解析](1)由径向电场力提供向心力有E0q＝mv20r0解得E0＝mv20qr0由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝mv20r0解得B＝mv0qr0.(2)从M点到P点，由动能定理有12×0.5mv2－12×0.5mv20＝qUNP解得v＝5v0则在磁场中，质量为0.5m的离子的轨迹半径r＝0.5mvqB＝125r0由几何知识有l＝2rcosθ－0.5r0解得l＝1.5r0.(3)若恰好能分辨，则有2r01－ΔBB－2r0cosθ1＋ΔBB＝r02解得ΔBB＝17－4≈0.12.[答案](1)mv20qr0mv0qr0(2)1.5r0(3)0.12带电粒子在组合场中运动时要分段求解，在电场中的加速运动或类平抛运动用动能定理、运动分解及牛顿运动定律求解．而在磁场中的圆周运动则应用周期和半径公式结合几何作图求解．在复合场中的运动要分析好粒子的受力情况和运动情况来求解．【题组过关】考向1先电场后磁场1．(2020·台州月考)如图所示，平行板电容器两金属板A、B板长L＝32cm，两板间距离d＝32cm，A板的电势比B板高．电荷量q＝10－10C、质量m＝10－20kg的带正电的粒子，以初速度v0＝2×106m/s沿电场中心线垂直电场线飞入电场．随后，粒子在O点飞出平行板电容器(速度偏转角为37°)，并进入磁场方向垂直纸面向里，且边长为CD＝24cm的正方形匀强磁场区域．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，粒子的重力不计)(1)求A、B两板的电势差；(2)粒子穿过磁场区域后打在放置于中心线上的荧光屏CD上，求磁感应强度的范围．解析：(1)带电粒子射出电场时在电场方向上的速度为：vy＝v0tan37°①vy＝at②在电场中，由牛顿第二定律可得：qE＝qUd＝ma③在电场中垂直于电场方向上有：L＝v0t④联立①②③④式可得A、B两板的电势差为：U＝300V．⑤(2)粒子进入磁场的速度为：v＝v0cos37°⑥带电粒子射出电场时在电场方向上的位移为：y＝12at2⑦粒子要打在CD上，当磁感应强度最大时，运动轨迹如图线1所示，设此时的磁感应强度为B1，半径为R1，由几何关系可得：y＝R1＋R1cos37°⑧由洛伦兹力提供向心力可得：qvB1＝mv2R1⑨粒子要打在CD上，当磁感应强度最小时，假设运动轨迹与右边界相切且从CD射出，设此时的半径为R2，由几何关系可得：CD＝R2＋R2sin37°⑩解得R2＝15cm，又由于R2cos37°＝12cm＝y，故粒子圆心恰好在CD上，且从D点射出磁场，如图线2所示，假设成立，设此时的磁感应强度为B2由洛伦兹力提供向心力可得：qvB2＝mv2R2⑪联立以上各式并代入数据可得磁感应强度的范围为：1.7×10－3T≤B≤3.75×10－3T.答案：(1)300V(2)1.7×10－3T≤B≤3.75×10－3T考向2先磁场后电场2．如图所示，在xOy坐标平面的第一象限内有一沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(重力不计)从坐标原点O以速度大小v0射入磁场，其入射方向与x轴的正方向成30°角．当粒子第一次进入电场后，运动到电场中P点处时，方向与x轴正方向相同，P点坐标为[(23＋1)L，L]．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：(1)粒子运动到P点时速度的大小v；(2)匀强电场的电场强度E和匀强磁场的磁感应强度B；(3)粒子从O点运动到P点所用的时间t.解析：(1)粒子运动轨迹如图所示，OQ段为圆弧，QP段为抛物线，粒子在Q点时的速度大小为v0，根据对称性可知，方向与x轴正方向成30°角，可得：v＝v0cos30°解得：v＝32v0.(2)在粒子从Q运动到P的过程中，由动能定理得－qEL＝12mv2－12mv20，解得E＝mv208qL水平方向的位移为xQP＝32v0t1竖直方向的位移为y＝12v0sin30°t1＝L可得xQP＝23L，OQ＝xOP－xQP＝L由于OQ＝2Rsin30°，故粒子在OQ段做圆周运动的半径R＝L，又qv0B＝mv20R，解得B＝mv0qL.(3)粒子从O点运动到Q点所用的时间为t1＝16×2πRv0＝πL3v0设粒子从Q到P所用时间为t2，在竖直方向上有t2＝Lvy/2＝4Lv0则粒子从O点运动到P点所用的时间为t＝t1＋t2＝（12＋π）L3v0.答案：(1)32v0(2)mv208qLmv0qL(3)（12＋π）L3v0带电粒子在复合场中的运动【题组过关】1．(2017·11月浙江选考)如图所示，在两水平金属板构成的器件中，存在着匀强电场与匀强磁场，电场强度E和磁感应强度B相互垂直．以某一水平速度进入的不计重力的带电粒子恰好能沿直线运动，下列说法正确的是()A．粒子一定带负电B．粒子的速度大小v＝BEC．若粒子速度大小改变，粒子将做曲线运动D．若粒子速度大小改变，电场对粒子的作用力会发生变化答案：C2．如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上．两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴．调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平方向向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点．(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；(2)求磁感应强度B的值；(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置．为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？解析：(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，有qUd＝mg①由①式得：q＝mgdU②由于电场方向向下，电荷所受电场力向上，可知：墨滴带负电荷．(2)墨滴垂直进入电、磁场共存区域，重力仍与电场力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，有qv0B＝mv20R③考虑墨滴进入磁场和撞板的几何关系，可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动，则半径R＝d④由②③④式得B＝v0Ugd2.⑤(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图，设圆周运动半径为R′，有qv0B′＝mv20R′⑥由图示可得：R′2＝d2＋R′－d22⑦得：R′＝54d⑧联立②⑥⑧式可得：B′＝4v0U5gd2.答案：(1)负电荷mgdU(2)v0Ugd2(3)4v0U5gd23.如图，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动．A、C两点间距离为h，重力加速度为g.(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC；(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点．已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP.解析：(1)小滑块沿MN运动过程，水平方向受力满足qvB＋FN＝qE小滑块在C点离开MN时FN＝0解得vC＝EB.(2)由动能定理得mgh－Wf＝12mv2C－0解得Wf＝mgh－mE22B2.(3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直．撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g′，g′＝qEm2＋g2且v2P＝v2D＋g′2t2解得vP＝v2D＋qEm2＋g2t2.答案：(1)EB(2)mgh－mE22B2(3)v2D＋qEm2＋g2t2带电粒子在复合场中运动的解题思路带电粒子在交变电磁场中的运动【题组过关】1．(2020·温州六校联考)如图甲所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：(1)磁感应强度B0的大小；(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．解析：设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向．(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝mv20R而v0＝2πRT0由两式得磁感应强度B0＝2πmqT0.(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝d4做匀速圆周运动的周期T0＝2πRv0当两板之间正离子运动n个周期，即nT0时，有R＝d4n(n＝1，2，3…)联立求解，得正离子的速度的可能值为v0＝B0qRm＝πd2nT0(n＝1，2，3…)．答案：(1)2πmqT0(2)πd2nT0(n＝1，2，3…)2．(2020·舟山质检)如图甲所示，带正电粒子以水平速度v0从平行金属板MN间中线OO′连续射入电场中．MN板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压UMN，两板间电场可看做是均匀的，且两板外无电场．紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，分界线为CD，EF为屏幕．金属板间距为d，长度为l，磁场的宽度为d.已知：B＝5×10－3T，l＝d＝0.2m，每个带正电粒子的速度v0＝105m/s，比荷为qm＝108C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为是恒定不变的．试求：(1)带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径；(2)带电粒子射出电场时的最大速度；(3)带电粒子打在屏幕上的范围．解析：(1)t＝0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小．粒子在磁场中运动时qv0B＝mv20rmin则带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径rmin＝mv0qB＝105108×5×10－3m＝0.2m其运动的径迹如图中曲线Ⅰ所示．(2)设两板间电压为U