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第五章机械能及其守恒定律第1节功和功率【基础梳理】力位移能量转化Flcosα正功不做功负功快慢WtFvcosα正常工作额定【自我诊断】判一判(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功．()(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．()(3)作用力做负功时，反作用力一定做正功．()(4)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的．()(5)由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比．()(6)汽车上坡时换低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力．()×√×√√√做一做(2020·福建闽粤联合体联考)如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是()A．重力的平均功率PA＞PBB．重力的平均功率PA＝PBC．重力的瞬时功率PA＝PBD．重力的瞬时功率PA＜PB提示：选D.设斜面的倾角为θ，高度为h，B做自由落体运动，运动时间tB＝2hg，A做匀加速直线运动，a＝gsinθ，根据hsinθ＝12gsinθt2A得，tA＝2hgsin2θ，可知tA＞tB；重力做功相等，根据P＝WGt知，PA＜PB，A、B错误；根据动能定理，mgh＝12mv2得，两物体到达地面时的速度大小均为v＝2gh，A物体重力的瞬时功率PA＝mgvsinθ，B物体重力的瞬时功率PB＝mgv，则PA＜PB，C错误，D正确．对功的判断和计算【知识提炼】1．功的正负的判断方法2．恒力做功的计算方法【典题例析】如图所示，质量为m的小球用长为L的轻绳悬挂于O点，用水平恒力F拉着小球从最低点运动到使轻绳与竖直方向成θ角的位置，求此过程中，各力对小球做的功及总功．[审题指导]W＝F·lcosα可以理解为功等于力与力方向上的位移的乘积．[解析]如图，小球在F方向的位移为CB，方向与F同向，则WF＝F·CB＝F·Lsinθ小球在重力方向的位移为AC，方向与重力反向，则WG＝mg·AC·cos180°＝－mg·L(1－cosθ)绳的拉力FT时刻与运动方向垂直，则WFT＝0故W总＝WF＋WG＋WFT＝F·Lsinθ－mgL(1－cosθ)．[答案]见解析【题组过关】考向1恒力做功的求解1．(2020·杭州质检)一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则()A．WF24WF1，Wf22Wf1B．WF24WF1，Wf2＝2Wf1C．WF24WF1，Wf2＝2Wf1D．WF24WF1，Wf22Wf1解析：选C.物体两次的加速度之比a2∶a1＝2vt∶vt＝2∶1，位移之比l2∶l1＝2v2t∶v2t＝2∶1，摩擦力之比f2∶f1＝1∶1，由牛顿第二定律得F－f＝ma，则拉力之比F2∶F1＝(ma2＋f)∶(ma1＋f)2，做功之比WF2∶WF1＝(F2·l2)∶(F1·l1)4，Wf2∶Wf1＝(－f2·l2)∶(－f1·l1)＝2∶1，故C正确．考向2变力做功的求解2．(2020·宁波调研)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1s内、第2s内、第3s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是()A．W1＝W2＝W3B．W1W2W3C．W1W3W2D．W1＝W2W3解析：选B.在第1s内，滑块的位移为x1＝12×1×1m＝0.5m，力F做的功为W1＝F1x1＝1×0.5J＝0.5J；第2s内，滑块的位移为x2＝12×1×1m＝0.5m，力F做的功为W2＝F2x2＝3×0.5J＝1.5J；第3s内，滑块的位移为x3＝1×1m＝1m，力F做的功为W3＝F3x3＝2×1J＝2J，所以W1W2W3.求解变力做功的几种思路(1)利用动能定理W＝ΔEk或功能关系W＝ΔE计算能量变化量ΔE或ΔEk，即等量替换的物理思想．(2)当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车以恒定功率启动．(3)当变力方向不变，大小与位移成正比时，可用力对位移的平均值F＝12(F初＋F末)来计算．(4)当变力大小不变，方向在变化且力的方向始终与速度方向相同或相反时，功可用力与路程的乘积计算．(5)用变力F随位移x的变化图象与x轴所围的“面积”计算功．注意x轴上下两侧分别表示正、负功．对功率的理解与计算【题组过关】1．(多选)(2020·台州高二期中)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105N；弹射器有效作用长度为100m，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则()A．弹射器的推力大小为1.1×106NB．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108JC．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107WD．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32m/s2解析：选ABD.对舰载机应用运动学公式v2－02＝2ax，即802＝2·a·100，得加速度a＝32m/s2，选项D正确；设总推力为F，对舰载机应用牛顿第二定律可知：F－20%F＝ma，得F＝1.2×106N，而发动机的推力为1.0×105N，则弹射器的推力为F推＝(1.2×106－1.0×105)N＝1.1×106N，选项A正确；弹射器对舰载机所做的功为W＝F推·l＝1.1×108J，选项B正确；弹射过程所用的时间为t＝va＝8032s＝2.5s，平均功率P＝Wt＝1.1×1082.5W＝4.4×107W，选项C错误．2．(2020·杭州调研)一台起重机从静止开始匀加速地将一质量m＝1.0×103kg的货物竖直吊起，在2s末货物的速度v＝4m/s.起重机在这2s内的平均输出功率及2s末的瞬时功率分别为(g取10m/s2)()A．2.4×104W2.4×104WB．2.4×104W4.8×104WC．4.8×104W2.4×104WD．4.8×104W4.8×104W解析：选B.货物运动的加速度a＝vt＝42m/s2＝2m/s2，设起重机吊绳的拉力为F，根据牛顿第二定律，有F－mg＝ma所以F＝m(g＋a)＝1.0×103×(10＋2)N＝1.2×104N货物上升的位移l＝12at2＝4m则拉力做的功W＝F·l＝1.2×104×4J＝4.8×104J故2s内的平均功率P－＝Wt＝2.4×104W2s末的瞬时功率P＝Fv＝1.2×104×4W＝4.8×104W.1．平均功率的计算(1)利用P＝Wt.(2)利用P＝F·v－cosα，其中v－为物体运动的平均速度，F为恒力．2．瞬时功率的计算(1)利用公式P＝F·vcosα，其中v为t时刻的瞬时速度．(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力．注意：对于α变化的不能用公式P＝Fvcosα计算平均功率．机车启动问题【知识提炼】两种启动方式的比较两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P－t图和v－t图两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动OA段过程分析v↑⇒F＝P（不变）v↓⇒a＝F－F阻m↓a＝F－F阻m不变⇒F不变，v↑⇒P＝Fv↑直到P额＝Fv1运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t0＝v1a两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动AB段过程分析F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝Pvmv↑⇒F＝P额v↓⇒a＝F－F阻m↓运动性质以vm做匀速直线运动加速度减小的加速运动BC段无F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝P额F阻匀速运动【典题例析】(2020·绍兴调研)某汽车发动机的额定功率为60kW，汽车质量为5t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍．(g取10m/s2)(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到5m/s时，其加速度是多少？(2)若汽车以恒定加速度0.5m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？[审题指导](1)达到最大速度时，汽车处于什么状态？(2)v＝5m/s时，牵引力多大？(3)以加速度0.5m/s2启动时，牵引力多大？此阶段能达到的最大速度为多少？[解析](1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值vm，此时牵引力与阻力相等，故最大速度为vm＝PF＝PFf＝60×1030.1×5000×10m/s＝12m/sv＝5m/s时的牵引力F1＝Pv＝60×1035N＝1.2×104N，由F1－Ff＝ma得：a＝F1－Ffm＝1.2×104－0.1×5×103×105×103m/s2＝1.4m/s2.(2)当汽车以a′＝0.5m/s2的加速度启动时的牵引力F2＝ma′＋Ff＝(5000×0.5＋0.1×5×103×10)N＝7500N匀加速运动能达到的最大速度为v′m＝PF2＝60×1037500m/s＝8m/s由于此过程中汽车做匀加速直线运动，满足v′m＝a′t故匀加速过程能维持的时间t＝v′ma′＝80.5s＝16s.[答案](1)12m/s1.4m/s2(2)16s机车启动问题中的三个重要关系式(1)无论哪种运动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝PFmin＝PF阻(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)．(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝PF＜vm＝PF阻.(3)机车以恒定功率运动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小．【题组过关】考向1以恒定功率启动方式的求解1．(2020·嘉兴质检)质量为m的汽车，以恒定的功率P从静止开始在平直路面上行驶一段距离s后达到最大速度vm，经历时间为t.若行驶中阻力Ff恒定，则以下关系式正确的是()A．vm＝stB．P＝FfvmC．Pt＝12mv2mD．Pt＝Ffs解析：选B.根据P＝Fv，F－Ff＝ma，若保持功率P不变，可知汽车做加速度减小的加速运动，达到最大速度vm后，做匀速运动，故A错误；匀速运动时，F＝Ff，所以P＝Ffvm，故B正确；对加速过程，根据动能定理可知：Pt－Ffs＝12mv2m－0，故C、D错误．考向2以恒定牵引力启动方式的求解2．(2020·金华高二期中)某汽车集团公司研制了一辆燃油与电动混合动力赛车，燃油发动机单独工作时的额定功率为P，蓄电池供电的电力发动机单独工作时的额定功率为3P4，已知赛车运动过程中受到的阻力恒定．(1)若燃油发动机单独工作时的最大速度为120km/h，则两台发动机同时工作时的最大速度为多少？(2)若赛车先单独启动电力发动机从静止开始做匀加速直线运动，经过t1时间达到额定功率，然后以燃油发动机的额定功率单独启动继续加速，又经过t2时间达到最大速度v0，赛车总质量为m，求赛车的整个加速距离．解析：(1)燃油发动机单独工作，P＝F1v1＝fv1两台发动机同时工作，P＋3P4＝F2v2＝fv2最大速度v2＝7v14＝210km/h.(2)燃油发动机的额定功率为P，最大速度为v0，阻力f＝Pv0匀加速过程功率随时间均匀增加，发动机的平均功率为3P8，设总路程为s，由动能定理有3P8t1＋Pt2－fs＝12mv20解得s＝P（3t1＋8t2）v0－4mv308P.答案：(1)210km/h(2)P（3t1＋8t2）v0－4mv308P