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第四章曲线运动万有引力与航天第4节万有引力与航天【基础梳理】椭圆一个焦点面积半长轴公转周期gR质量m1和m2的乘积它们之间距离r的二次方质量分布均匀GMRGm1m2r2【自我诊断】判一判(1)所有物体之间都存在万有引力．()(2)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心．()(3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．()(4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关．()(5)同步卫星可以定点在北京市的正上方．()(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．()√√×√×√做一做(2020·吉林长春高三质检)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”．双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的)，则()A．b星的周期为l－Δrl＋ΔrTB．a星的线速度大小为π（l＋Δr）TC．a、b两颗星的轨道半径之比为ll－ΔrD．a、b两颗星的质量之比为l＋Δrl－Δr提示：选B.a、b两颗星体是围绕同一点绕行的双星系统，故周期T相同，选项A错误；由ra－rb＝Δr，ra＋rb＝l得ra＝l＋Δr2，rb＝l－Δr2，所以rarb＝l＋Δrl－Δr，选项C错误；a星的线速度v＝2πraT＝π（l＋Δr）T，选项B正确；由maω2ra＝mbω2rb，得mamb＝rbra＝l－Δrl＋Δr，选项D错误．对万有引力定律的理解及应用【知识提炼】天体质量和密度的计算(1)自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.①由GMmR2＝mg得天体质量M＝gR2G.②天体密度：ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.(2)借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.①由GMmr2＝m4π2rT2得天体的质量为M＝4π2r3GT2.②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3.③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T，就可估算出中心天体的密度．【典题例析】(2018·11月浙江选考)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域．现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)．飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动，已知星球的半径为R，引力常量用G表示．则宇宙飞船和星球的质量分别是()A.FΔvΔt，v2RGB.FΔvΔt，v3T2πGC.FΔtΔv，v2RGD.FΔtΔv，v3T2πG[解析]根据牛顿第二定律可知F＝ma＝mΔvΔt，所以飞船质量为m＝FΔtΔv.飞船做圆周运动的周期T＝2πrv，得半径为r＝Tv2π，根据万有引力提供向心力可得GMmr2＝mv2r，得星球质量M＝v2rG＝v3T2πG，故选项D正确．[答案]D【题组过关】考向1星球附近重力加速度的求解1．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A.0B.GM（R＋h）2C.GMm（R＋h）2D.GMh2解析：选B.飞船所受的万有引力等于在该处所受的重力，即GMm（R＋h）2＝mgh，得gh＝GM（R＋h）2，选项B正确．考向2天体质量和密度的计算2．(2018·4月浙江选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106km.已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，则土星的质量约为()A．5×1017kgB．5×1026kgC．7×1033kgD．4×1036kg解析：选B.根据万有引力提供向心力可知GMmR2＝m4π2RT2，得M＝4π2R3GT2，代入数据可得M≈5×1026kg，能估算出数量级即可．(1)计算星球表面(附近)的重力加速度g(不考虑星球自转)：mg＝GmMR2，得g＝GMR2①.(2)计算星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝GmM（R＋h）2，得g′＝GM（R＋h）2②.由上述①②式可得gg′＝（R＋h）2R2.(3)万有引力与重力的关系①在赤道上F万＝F向＋mg，即mg＝GMmR2－mω2R；②在两极F万＝mg，即mg＝GMmR2；③在一般位置，万有引力等于mg与F向的矢量和．卫星运行规律【知识提炼】1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心．2．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400s.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：据GMmr2＝m4π2T2r得r＝3GMT24π2＝4.23×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致．3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律4．卫星运动中的机械能(1)只在万有引力作用下卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动，机械能均守恒，这里的机械能包括卫星的动能和卫星(与中心天体)的引力势能．(2)质量相同的卫星，圆轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．【典题例析】(2020·1月浙江选考)如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行．a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1000km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则()A．a、b的周期比c大B．a、b的向心力一定相等C．a、b的速度大小相等D．a、b的向心加速度比c小答案：C解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即GMmR2＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．(g表示天体表面的重力加速度)(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2rT2＝man.【题组过关】考向1对同步卫星的考查1．(2019·4月浙江选考)某颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星(即卫星相对于地面静止)．则此卫星的()A．线速度大于第一宇宙速度B．周期小于同步卫星的周期C．角速度大于月球绕地球运行的角速度D．向心加速度大于地面的重力加速度解析：选C.第一宇宙速度7.9km/s是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，故此卫星的线速度小于第一宇宙速度，A错误；根据题意，该卫星是一颗同步卫星，周期等于同步卫星的周期，B错误；卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，根据GMmr2＝mω2r可知，绕行半径越小，角速度越大，故此卫星的角速度大于月球绕地球运行的角速度，C正确；根据an＝GMr2可知，绕行半径越大，向心加速度越小，此卫星的向心加速度小于地面的重力加速度，D错误．考向2宇宙速度问题2．(多选)据悉，2020年我国将进行第一次火星探测．向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是()A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的23解析：选CD.要将火星探测器发射到火星上去，必须脱离地球引力，即发射速度要大于第二宇宙速度，火星探测器仍在太阳系内运转，因此从地球上发射时，发射速度要小于第三宇宙速度，选项A、B错误，C正确；由第一宇宙速度的概念，得GMmR2＝mv21R，得v1＝GMR，故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球的第一宇宙速度的比值约为29＝23，选项D正确．卫星的变轨问题【知识提炼】1．从低轨变高轨(如图所示)(1)在P点加速(短时)由圆轨道1进入椭圆轨道2；(2)在椭圆轨道2上远地点Q再短时加速进入圆轨道3.虽有两次短时加速，但卫星从近地点P到远地点Q的过程中引力做负功，由v＝GMr知，卫星的速度减小(动能减小、势能增大)．2．从高轨变低轨(如图所示)(1)在轨道3上Q点短时制动减速由圆轨道3进入椭圆轨道2；(2)在轨道2上P点再短时制动减速进入圆轨道1.3．渐变转轨：在卫星受空气阻力作用轨道变化问题中，“空气阻力”是变轨的原因，一般分析过程为：卫星在半径为r1的较高轨道上做圆周运动，v1＝GMr1→空气阻力做负功→卫星动能(速度)减小→致使GMmr2＞mv2r→卫星做向心运动→轨道高度缓慢降低到半径为r2的圆轨道上→重力做正功→卫星动能速度v2＝GMr2增大．实质上，卫星在稀薄空气阻力作用下的运动是机械能缓慢减小、轨道半径缓慢减小、动能(速度)缓慢增大的运动．【典题例析】如图所示，1、3轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1轨道的半径为R，2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与2轨道相切于B点，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G，地球质量为M，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是()A．卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能B．若卫星在1轨道上的速率为v1，卫星在2轨道A点的速率为vA，则v1＜vAC．若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a1、a3，卫星在2轨道A点的加速度大小为aA，则aA＜a1＜a3D．若OA＝0.4R，则卫星在2轨道B点的速率vB＞5GM8R[审题指导]卫星变轨过程中速度变化要从离心、向心的角度来分析，而加速度要从受力的角度来分析．[解析]2、3轨道在B点相切，卫星在3轨道相对于2轨道是做离心运动的，卫星在3轨道上的线速度大于在2轨道上B点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在3轨道上的机械能大于在2轨道上的机械能，A错误；以OA为半径作一个圆轨道4与2轨道相切于A点，则v4＜vA，又因v1＜v4，所以v1＜vA，B正确；加速度是万有引力产生的，只需要比较卫星到地心的高度即可，应是aA＞a1＞a3，C错误；由开普勒第三定律可知，2轨道的半长轴为R，OB＝1.6R，3轨道上的线速度v3＝5GM8R，又因vB＜v3，所以vB＜5GM8R，D错误．[答案]B【题组过关】考向1运动参量的变化分析1．(多选)(2019·丽水高二质检)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点．a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是()A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2km/sB．嫦娥三号在M点进入地月转移轨道时应点火加速C．设嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1＞a2D．嫦娥三号在圆轨道a上的机械能小于在椭圆轨道b上的机械能解析：选BD.嫦娥三号在环地球轨道上运行速度v满足7.9km/s≤v＜11.2km/s，则A错误；嫦娥三号要脱离地球需在M点点火加速让其进入地月转移轨道，则B正确；由a＝GMr2，知嫦娥三号在经过圆轨道a上的N点和在椭圆轨道b上的N点时的加速度相等，则C错误；嫦娥三号要从b轨道转移到a轨道需要减速，机械能减小，则D正确．考向2卫星的追赶问题2．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()A．