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第八章磁场第2节磁场对运动电荷的作用【基础梳理】运动电荷qvB(v⊥B)左手不做功2πmqB匀速直线匀速圆周mvqB【自我诊断】判一判(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用．()(2)洛伦兹力的方向、粒子运动方向、磁场方向两两相互垂直．()(3)运动电荷进入磁场后(无其他力作用)可能做匀速直线运动．()(4)洛伦兹力可以做正功、做负功或不做功．()(5)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度的大小无关．()(6)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与粒子的比荷无关．()××√×√×做一做试画出下图中几种情况下带电粒子的运动轨迹．提示：洛伦兹力的特点及应用【题组过关】1．(2020·嘉兴联考)带电粒子垂直匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用．下列表述正确的是()A．洛伦兹力对带电粒子做功B．洛伦兹力不改变带电粒子的动能C．洛伦兹力的大小与速度无关D．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向解析：选B.洛伦兹力的方向总跟速度方向垂直，所以洛伦兹力永不做功，不会改变粒子的动能，故选B.2．三种不同粒子a、b、c从O点沿同一方向进入垂直纸面向里的匀强磁场中的运动轨迹分别如图所示．则()A．粒子a一定带正电B．粒子b一定带正电C．粒子c一定带正电D．粒子b一定带负电解析：选A.由左手定则可以判断，粒子a带正电，粒子b不带电，粒子c带负电，故选项A正确．1．洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功．(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向．2．洛伦兹力与电场力的比较对应力内容比较项目伦兹力F电场力F性质磁场对在其中运动电荷的作用力电场对放入其中电荷的作用力产生条件v≠0且v与B不平行电荷处在电场中大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE力方向与场方向的关系一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电性无关正电荷所受电场力与电场方向相同，负电荷所受电场力与电场方向相反对应力内容比较项目洛伦兹力F电场力F做功情况任何情况下都不做功可能做正功、负功，也可能不做功力为零时场的情况F为零，B不一定为零F为零，E一定为零作用效果只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向带电粒子在有界磁场中的运动【知识提炼】1．圆心的确定(1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)．(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动①直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)．②平行边界(存在临界条件，如图所示)．③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)．2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)．求解时注意以下几个重要的几何特点：(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt.(2)相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°.(3)直角三角形的几何知识(勾股定理)．AB中点C，连接OC，则△ACO、△BCO都是直角三角形．3．运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为：t＝θ2πT或t＝θRv.4．求解粒子在匀强磁场中运动问题的步骤(1)画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹．(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系．(3)用规律：即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．【典题例析】(2020·浙江9＋1联盟联考)如图所示，直线MN上方为磁感应强度为B的足够大的匀强磁场，一电子(质量为m、电荷量为e)以v的速度从点O与MN成30°角的方向射入磁场中，则：(1)电子从磁场中射出时距O点多远？(2)电子在磁场中运动的时间是多少？[审题指导]怎样确定轨迹圆的圆心？半径R为多大？圆心角为多大？[解析]设电子在匀强磁场中运动半径为R，射出时与O点距离为d，运动轨迹如图所示．(1)据牛顿第二定律知：Bev＝mv2R由几何关系可得，d＝2Rsin30°解得：d＝mvBe.(2)电子在磁场中转过的角度为θ＝60°＝π3，又周期T＝2πmBe因此运动时间：t＝θT2π＝π32π·2πmBe＝πm3Be.[答案](1)mvBe(2)πm3Be【题组过关】考向1平行边界磁场问题1.(2020·绍兴调研)如图所示，一束电子(电荷量为e)以速度v由A点垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，在C点穿出磁场时的速度方向与原来电子的入射方向的夹角为θ＝30°，则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间又是多少？解析：电子在磁场中运动，只受洛伦兹力F作用，故其轨迹AC是圆周的一部分，又因为F垂直于v，故圆心就是电子进入和穿出磁场时两速度垂线的交点，如图中的O点．由几何知识可知，AC︵所对圆心角为θ＝30°，OC为半径r，则r＝dsin30°＝2d由r＝mveB得m＝2deBv由于AC︵所对圆心角是30°，因此穿过磁场的时间为t＝30°360°·T＝112T，又T＝2πrv，故t＝112·2πrv＝πd3v.答案：2deBvπd3v考向2圆形有界磁场问题2．(2020·丽水检测)如图所示，带负电的粒子沿垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，带电粒子质量m＝3×10－20kg，电荷量q＝10－13C，速度v0＝105m/s，磁场区域的半径R＝3×10－1m，不计粒子的重力，求磁场的磁感应强度B.解析：画进、出磁场速度方向的垂线得交点O′，O′点即为粒子做圆周运动的圆心，据此作出运动轨迹AB︵，如图所示，设此圆半径记为r，则O′AOA＝tan60°，所以r＝3R.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝mv20r，所以B＝mv0qr＝3×10－20×10510－13×33×10－1T＝33×10－1T.答案：33×10－1T带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题【题组过关】1．(多选)如图所示，宽h＝4cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向里，现有一群正粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径均为r＝10cm，则()A．右边界：－8cmy8cm范围内有粒子射出B．右边界：y8cm范围内有粒子射出C．左边界：y8cm范围内有粒子射出D．左边界：0y16cm范围内有粒子射出解析：选AD.粒子在磁场中只受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，分析粒子的运动轨迹(如图所示)，可得沿y轴负方向射入磁场的粒子，从右边界射出时交右边界下方最远为A，因r＝10cm，h＝4cm.由几何关系可得yA＝－8cm.从O点斜向右上方射入磁场的粒子，轨迹与右边界相切时，交右边界的距离最大，同时交左边界的距离也最大．由几何关系得yB＝8cm，yC＝16cm.故从右边界－8cmy8cm范围内有粒子射出，从左边界0y16cm范围内有粒子射出．2.(2017·11月浙江选考)如图所示，x轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，坐标原点处有一正离子源，单位时间在xOy平面内发射n0个速率均为v的离子，分布在y轴两侧各为θ的范围内．在x轴上放置长度为L的离子收集板，其右端点距坐标原点的距离为2L，当磁感应强度为B0时，沿y轴正方向入射的离子，恰好打在收集板的右端点．整个装置处于真空中，不计重力，不考虑离子间的碰撞，忽略离子间相互作用．(1)求离子的比荷qm；(2)若发射的离子被收集板全部收集，求θ的最大值；(3)假设离子到达x轴时沿x轴均匀分布，当θ＝37°，磁感应强度在B0≤B≤3B0的区间取不同值时，求单位时间内收集板收集到的离子数n与磁感应强度B之间的关系．(不计离子在磁场中运动的时间)解析：(1)洛伦兹力提供向心力qvB0＝mv2R圆周运动的半径R＝L得qm＝vB0L.(2)如图1所示，以最大值θm入射时，有Δx＝2R(1－cosθm)＝L或2Rcosθm＝L得θm＝π3.(3)BB0，全部收集到离子时的最小半径为R1，如图2，有2R1cos37°＝L得B1＝mvqR1＝1.6B0当B0≤B≤1.6B0时，有n1＝n0B1.6B0，恰好收集不到离子时的半径为R2，有R2＝0.5L得B2＝2B0当1.6B0B≤2B0时，设R′＝mvqB，有n2＝2R′－L2R′（1－cos37°）n0＝n05－5B2B0当2B0B≤3B0时，有n3＝0.答案：见解析