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第3节机械能守恒定律及其应用第五章机械能及其守恒定律一、重力势能与弹性势能1．重力势能(1)定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积．(2)表达式：Ep＝_________．(3)矢标性：重力势能是标量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在参考平面大还是小．mgh(4)重力势能的特点①系统性：重力势能是物体和_________所共有的．②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取_________，但重力势能的变化与参考平面的选取_________．(5)重力做功与重力势能变化的关系：WG＝_________．地球有关无关－ΔEp2．弹性势能(1)定义：发生______________的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，而具有的势能．(2)大小：与形变量及______________有关．(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能_______；弹力做负功，弹性势能_______．弹性形变劲度系数减小增加二、机械能守恒定律1．内容：在只有_____________________做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．2．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功．3．对守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒．(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功．(3)弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量．重力或弹力4．机械能守恒的三种表达式(1)E1＝E2(E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能)．(2)ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减(表示系统势能的减少量等于系统动能的增加量)．(3)ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)．三、能量守恒定律1．内容：能量既不会凭空产生，也不会______________，它只会从一种形式_______为其他形式，或者从一个物体_______到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量_________．2．表达式：______________．凭空消失转化转移保持不变ΔE减＝ΔE增机械能守恒的判断【题组过关】1.(2019·绍兴高二期中)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了3mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变解析：选B.圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝3L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝3mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误．2.木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度如图所示，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度的过程中，下列说法正确的是()A．子弹的机械能守恒B．木块的机械能守恒C．子弹和木块总机械能守恒D．子弹和木块上摆过程中机械能守恒解析：选D.子弹射入木块过程，系统中摩擦力做负功，机械能减少；而共同上摆过程，系统只有重力做功，机械能守恒．综上所述，整个过程机械能减少，减少部分等于克服摩擦力做功产生的热量．判断机械能是否守恒的三种方法(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．机械能守恒定律的应用【知识提炼】1．单个物体的机械能守恒往往会与平抛运动、圆周运动、人造卫星等结合到一起，构成综合性问题．求解这类问题时除了掌握机械能守恒的条件、规律外，还应熟练掌握以下内容：(1)平抛运动的特点和规律：平抛运动是初速度沿水平方向只在重力作用下的运动，其水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动．(2)圆周运动的特点和规律：物体做圆周运动时合力充当向心力，物体在竖直面内沿光滑轨道或由绳子系着做圆周运动时，由于重力做功，物体速度大小是变化的，在竖直面内达到圆周最高点的临界条件是弹力等于零．(3)卫星进入圆形轨道稳定运行时机械能不变，卫星自由地绕地球做椭圆轨道运动时只有地球引力做功，其机械能守恒，而卫星在人为变轨的过程中，机械能是不守恒的．2．多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”．(1)轻绳模型①绳上各点及连接物体的端点速度满足线速度相等．②对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能守恒．(2)轻杆模型①模型构建：轻杆两端(或两处)各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．②轻杆模型的四个特点a．忽略空气阻力和各种摩擦．b．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．c．杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．d．对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．【典题例析】如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h＝2m，s＝2m．取重力加速度大小g＝10m/s2.(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小．[审题指导]根据运动过程中机械能守恒可求解下滑到各点的速度，再根据运动的分解知识，进而求解问题．[解析](1)设环到b点时速度为vb，圆弧轨道半径为r，小环从a到b由机械能守恒有mgr＝12mv2b①环与bc段轨道间无相互作用力，从b到c环做平抛运动h＝12gt2②s＝vbt③联立可得r＝s24h④代入数据得r＝0.25m.(2)环从b点由静止下滑至c点过程中机械能守恒，设到c点时速度为vc，则mgh＝12mv2c⑤在bc段两次过程中环沿同一轨迹运动，经过同一点时速度方向相同设环在c点时速度与水平方向间的夹角为θ，则环做平抛运动时tanθ＝vyvb⑥vy＝gt⑦联立①②⑥⑦式可得tanθ＝22⑧则环从b点由静止开始滑到c点时速度的水平分量vcx为vcx＝vccosθ⑨联立⑤⑧⑨三式可得vcx＝2310m/s.[答案](1)0.25m(2)2310m/s【题组过关】考向1单物体机械能守恒问题1.(2019·嘉兴质检)如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3gR.求：(1)物体在A点时的速度大小；(2)物体离开C点后还能上升多高．解析：(1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点．设物体在B处的速度为vB，则mg·3R＋12mv20＝12mv2B，得v0＝3gR.(2)设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒可得mgHB＝12mv2B，HB＝4.5R所以离开C点后还能上升HC＝HB－R＝3.5R.答案：(1)3gR(2)3.5R考向2机械能守恒定律在轻绳模型问题中的应用2.(2019·舟山高二期中)如图所示，质量都为m＝1kg的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上．细线长L＝0.4m，今将细线拉直后使A和B从同一高度上都由静止释放，求从开始运动到使细线与水平方向成θ＝30°角的过程中，细线对A、B做的功．(g取10m/s2)．解析：设当两环运动到使细线与水平方向成θ＝30°角时，A和B的速度分别为vA、vB，将vA、vB分别沿细线和垂直细线方向分解，如图所示，由分析知，它们在沿细线方向上的分速度v1和v2相等．所以有vAsinθ＝vBcosθ①在这一过程中A下降的高度为Lsinθ，因两环组成的系统机械能守恒，则有mgLsinθ＝12mv2A＋12mv2B②由①②代入数值得：vA＝3m/s，vB＝1m/s.设细线对A、B环做功分别为WA、WB，由动能定理得：mgLsinθ＋WA＝12mv2A－0③WB＝12mv2B－0④由③④代入数值解得：WA＝－0.5J，WB＝0.5J.答案：－0.5J0.5J考向3机械能守恒定律在轻杆模型问题中的应用3.(2019·丽水调研)如图所示，竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为R.小球A、B质量分别为mA、mB，A和B之间用一根长为l(lR)的轻杆相连，从图示位置由静止释放，球和杆只能在同一竖直面内运动，下列说法正确的是()A．若mAmB，B在右侧上升的最大高度与A的起始高度相同B．若mAmB，B在右侧上升的最大高度与A的起始高度相同C．在A下滑过程中轻杆对A做负功，对B做正功D．A在下滑过程中减少的重力势能等于A与B增加的动能解析：选C.选轨道最低点为零势能点，根据系统机械能守恒条件可知A和B组成的系统机械能守恒，如果B在右侧上升的最大高度与A的起始高度相同，则有mAgh－mBgh＝0，则有mA＝mB，故选项A、B错误；小球A下滑、B上升过程中小球B机械能增加，则小球A机械能减少，说明轻杆对A做负功，对B做正功，故选项C正确；A下滑过程中减少的重力势能等于B上升过程中增加的重力势能和A与B增加的动能之和，故选项D错误．功能关系的理解和应用【题组过关】1．(2019·舟山高二月考)已知货物的质量为m，在某段时间内起重机将货物以加速度a加速提升h，则在这段时间内下列叙述正确的是(重力加速度为g)()A．货物的动能一定增加mah－mghB．货物的机械能一定增加mahC．货物的重力势能一定增加mahD．货物的机械能一定增加mah＋mgh解析：选D.准确把握功和对应能量变化之间的关系是解答此类问题的关键，具体分析如下：选项内容指向、联系分析结论A动能定理，货物动能的增加量等于货物所受合外力做的功mah错误B功能关系，货物机械能的增量等于除重力以外的力做的功而不等于合外力做的功错误C功能关系，重力势能的增量等于货物克服重力做的功mgh错误D功能关系，货物机械能的增量等于起重机拉力做的功m(g＋a)h正确2.(多选)如图，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC＝h.圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A.弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g.则圆环()A．下滑过程中，加速度一直减小B．下滑过程中，克服摩擦力做的功为14mv2C．在C处，弹簧的弹性势能为14mv2－mghD．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度解析：选BD.圆环下落时，先加速，在B位置时速度最大，加速度减小至0，从B到C圆环减速，加速度增大，方向向上，选项A错误．圆环下滑时，设克服摩擦力做功为Wf，弹簧的最大弹性势能为ΔEp，由A到C的过程中，根据功能关系有mgh＝ΔEp＋Wf，由C到A的过程中，有12mv2＋ΔEp＝Wf＋mgh，联立解得Wf＝14mv2，ΔEp＝mgh－14mv2，选项B正确，选项C错误．设圆环在B位置时，弹簧弹性势能为ΔEp′，根据能量守恒，A到B的过程有12mv2B＋ΔEp′＋W′f＝mgh′，B到A的过程有12mv′2B＋ΔEp′＝mgh′＋W′f，比较两式得v′BvB，选项D正确．几种常见的功能关系及其表达式各种力做功对应能的变化定量的关系合力的功动能变化合力对物体