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第4节万有引力与航天第四章曲线运动万有引力与航天一、开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律：也称轨道定律，每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个________上．2．开普勒第二定律：也称面积定律，在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线所扫过的面积都是________的．焦点相等3．开普勒第三定律：也称周期定律，是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量a3T2＝k.这里a是行星公转轨道半长轴，T是行星公转周期，k是常数，其大小只与________________________有关．二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成________，与它们之间距离r的二次方成反比．中心天体的质量正比2．公式：F＝Gm1m2r2，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2.3．适用条件：严格地说，公式只适用于________间的相互作用，当两个物体间的距离_______物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，r是________间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到________间的距离．质点远大于两球心质点4．万有引力定律的发现和相关物理史实(1)德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律．(2)牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律．(3)英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．三、宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)(1)数值v1＝________km/s，是人造卫星的最小________速度，也是人造卫星最大的________速度．(2)第一宇宙速度的计算方法①由GMmR2＝mv2R得v＝________．②由mg＝mv2R得v＝________．7.9发射环绕GMRgR2．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝________km/s，使物体挣脱________引力束缚的最小发射速度．3．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝________km/s，使物体挣脱________引力束缚的最小发射速度．11.2地球16.7太阳对万有引力定律的理解及应用【知识提炼】天体质量和密度的计算(1)自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.①由GMmR2＝mg得天体质量M＝gR2G.②天体密度：ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.(2)借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.①由GMmr2＝m4π2rT2得天体的质量为M＝4π2r3GT2.②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3.③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T，就可估算出中心天体的密度．【典题例析】(2018·11月浙江选考)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域．现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)．飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动，已知星球的半径为R，引力常量用G表示．则宇宙飞船和星球的质量分别是()A.FΔvΔt，v2RGB.FΔvΔt，v3T2πGC.FΔtΔv，v2RGD.FΔtΔv，v3T2πG[解析]根据牛顿第二定律可知F＝ma＝mΔvΔt，所以飞船质量为m＝FΔtΔv.飞船做圆周运动的周期T＝2πrv，得半径为r＝Tv2π，根据万有引力提供向心力可得GMmr2＝mv2r，得星球质量M＝v2rG＝v3T2πG，故选项D正确．[答案]D【题组过关】考向1开普勒三定律在椭圆轨道上的应用1．(多选)(2019·杭州外国语学校月考)据报道，美国探测器成功撞击“坦普尔一号”彗星，并投入彗星的怀抱，实现了人类历史上第一次对彗星的“大碰撞”，如图所示．设“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一椭圆，其运行周期为5.74年，则下列说法中正确的是()A．探测器的最小发射速度为7.9km/sB．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的加速度大于远日点处的加速度C．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的线速度小于远日点处的线速度D．探测器运行的周期小于5.74年解析：选BD.要想脱离地球控制，发射速度要达到第二宇宙速度11.2km/s，故选项A错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律GMmr2＝ma，得a＝GMr2，可知近日点的加速度大，故选项B正确；根据开普勒第二定律可知，行星绕日运行的近日点的线速度大，远日点的线速度小，故选项C错误；探测器的运行轨道高度比彗星低，根据开普勒第三定律r3T2＝k可知探测器的运行周期一定比彗星的运行周期小，故选项D正确．考向2星球附近重力加速度的求解2．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A.0B.GM（R＋h）2C.GMm（R＋h）2D.GMh2解析：选B.飞船所受的万有引力等于在该处所受的重力，即GMm（R＋h）2＝mgh，得gh＝GM（R＋h）2，选项B正确．考向3天体质量和密度的计算3.(2018·4月浙江选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106km.已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，则土星的质量约为()A．5×1017kgB．5×1026kgC．7×1033kgD．4×1036kg解析：选B.根据万有引力提供向心力可知GMmR2＝m4π2RT2，得M＝4π2R3GT2，代入数据可得M≈5×1026kg，能估算出数量级即可．4.(多选)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是()A．轨道半径越大，周期越长B．轨道半径越大，速度越大C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度解析：选AC.根据卫星的周期公式T＝4π2r3GM，可知轨道半径越大，周期越长，故A项正确；根据卫星的速度公式v＝GMr，可知轨道半径越大，速度越小，故B项错误；设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T.对于飞行器，根据万有引力提供向心力得：GMmr2＝m4π2T2r，由几何关系有：R＝rsinθ2，星球的平均密度ρ＝MV，联立以上三式得：ρ＝3πGT2（sinθ2）3，则测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故C项正确；由GMmr2＝m4π2T2r，可得M＝4π2GT2·r3，可知若测得周期和轨道半径，可得到星球的质量，但星球的半径未知，不能求出星球的平均密度，故D项错误．1．计算星球表面(附近)的重力加速度g(不考虑星球自转)：mg＝GmMR2，得g＝GMR2.2．计算星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝GmM（R＋h）2，得g′＝GM（R＋h）2.所以gg′＝（R＋h）2R2.3．万有引力与重力的关系(1)在赤道上F万＝F向＋mg，即mg＝GMmR2－mω2R；(2)在两极F万＝mg，即mg＝GMmR2；(3)在一般位置，万有引力等于mg与F向的矢量和．卫星运行规律【知识提炼】1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心．2．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400s.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：据GMmr2＝m4π2T2r得r＝3GMT24π2＝4.23×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致．3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律4．卫星运动中的机械能(1)只在万有引力作用下卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动，机械能均守恒，这里的机械能包括卫星的动能和卫星(与中心天体)的引力势能．(2)质量相同的卫星，圆轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．【典题例析】2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射，在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放．假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()A．20颗小卫星的轨道半径均相同B．20颗小卫星的线速度大小均相同C．同一圆轨道上的小卫星的周期均相同D．不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同[解析]小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放，所以它们的轨道半径不相同，则由v＝GMR和T＝4π2r3GM知，不同轨道的小卫星的线速度、周期不相同，而同一轨道上的小卫星的线速度和周期都相同，故A、B、D错误，C正确．[答案]C1．解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即GMmR2＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．(g表示天体表面的重力加速度)(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2rT2＝man.2．用好“二级结论”，速解参量比较问题“二级结论”有：(1)向心加速度a∝1r2，r越大，a越小；(2)线速度v∝1r，r越大，v越小，r＝R时的v即第一宇宙速度(绕行天体在圆轨道上最大的线速度，发射卫星时的最小发射速度)；(3)角速度ω∝1r3，r越大，ω越小；(4)周期T∝r3，r越大，T越大．即“高轨低速周期长，低轨高速周期短”．【题组过关】考向1卫星运行参量的比较1.(2019·丽水高二月考)如图所示，a、b、c三颗卫星在各自的轨道上运行，轨道半径rarbrc，但三个卫星受到地球的万有引力大小相等，则下列说法正确的是()A．三个卫星的加速度为aaabacB．三个卫星的速度为vavbvcC．三个卫星的质量为mambmcD．三个卫星的运行周期为TaTbTc解析：选D.卫星的向心加速度a＝GMr2，轨道半径越小，向心加速度越大，选项A错误；卫星的速度v＝GMr，则轨道半径越小，速度越大，选项B错误；由于三个卫星受到地球的万有引力大小相等，由F＝GMmr2可知，轨道半径越大，卫星的质量越大，选项C错误；卫星的运行周期T＝2πr3GM，所以轨道半径越大，周期越长，选项D正确．考向2对同步卫星的考查2．(2016·4月浙江选考)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102km的预定轨道．“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动．已知地球半径R＝6.4×103km.下列说法正确的是()A．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小B．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小C．“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小D．“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小解析：选C.由万有引力提供向心力，得：v＝GMr，半径小的线速度大，则A错误；由万有引力提供向心力，得：ω＝GMr3，半径小的角速度大，则B错误；由万有引力提供向心力，得：T＝2πr3GM，半径小的周期小，则C正确；由万有引力提供向心力，得：a＝GMr2，得半径小的加速度大，则D错误．考向3宇宙速度问题3．(多选)据悉，我国的火星探测计划将于2018年展开.2018年左右我国将进行第一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说