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第3节圆周运动第四章曲线运动万有引力与航天一、描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表定义、意义公式、单位线速度(1)描述做圆周运动的物体运动_______的物理量(v)(2)是矢量，方向和半径垂直，和圆周_______(1)v＝ΔsΔt＝2πrT(2)单位：________快慢相切m/s定义、意义公式、单位角速度(1)描述物体绕圆心__________的物理量(ω)(2)中学不研究其方向(1)ω＝ΔθΔt＝2πT(2)单位：_______周期和转速(1)周期是物体沿圆周运动_______的时间(T)(2)转速是物体在单位时间内转过的_______(n)，也叫频率(f)(1)T＝2πrv；单位：____(2)n的单位r/s、r/min(3)f的单位：_______f＝1T转动快慢rad/s一圈圈数sHz定义、意义公式、单位向心加速度(1)描述速度_______变化快慢的物理量(an)(2)方向指向_______(1)an＝v2r＝ω2r(2)单位：________向心力(1)作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的_______，不改变线速度的_______(2)方向指向_______(1)Fn＝mω2r＝mv2r＝m4π2T2r(2)单位：N方向圆心m/s2方向大小圆心定义、意义公式、单位相互关系(1)v＝rω＝2πrT＝2πrf(2)an＝v2r＝rω2＝ωv＝4π2rT2＝4π2f2r(3)Fn＝mv2r＝mrω2＝m4π2rT2＝mωv＝m·4π2f2r二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动1．匀速圆周运动(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的________处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动．(2)性质：向心加速度大小_______，方向总是指向_______的变加速曲线运动．(3)质点做匀速圆周运动的条件：合力_______不变，方向始终与速度方向_______且指向_______．大小不变圆心大小垂直圆心2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均______________的圆周运动．(2)合力的作用①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的_______．②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的_______．发生变化大小方向三、离心现象1．离心运动(1)定义：做______________的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需_______的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动．(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的_______，总有沿着圆周______________飞出去的倾向．圆周运动向心力惯性切线方向(3)受力特点①当F＝mω2r时，物体做______________运动；②当F＝0时，物体沿_______方向飞出；③当Fmω2r时，物体逐渐_______圆心，做离心运动．2．近心运动：当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即Fmω2r，物体将逐渐_______圆心，做近心运动．匀速圆周切线远离靠近圆周运动的运动学问题【题组过关】1．(多选)(2019·台州质检)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝RA2，若在传动过程中，皮带不打滑，则()A．A点与C点的角速度大小相等B．A点与C点的线速度大小相等C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4解析：选BD.处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等，对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝RA2，所以ωA＝ωC2，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝ωC2，可得ωB＝ωC2，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝ωC2及关系式a＝ω2R，可得aB＝aC4，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确．2．(2019·湖州调研)如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦传动，两轮的半径R∶r＝2∶1.当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1，若改变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则()A.ω1ω2＝12B.ω1ω2＝21C.a1a2＝11D.a1a2＝12解析：选C.根据题述，a1＝ω21r，ma1＝μmg；联立解得μg＝ω21r，小木块放在P轮边缘也恰能静止，μg＝ω2R＝2ω2r，由ωR＝ω2r联立解得ω1ω2＝22，选项A、B错误；ma＝μmg，所以a1a2＝11，选项C正确，D错误．3.如图是自行车传动机构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为nr/s，则自行车前进的速度为()A.πnr1r3r2B.πnr2r3r1C.2πnr2r3r1D.2πnr1r3r2解析：选D.自行车前进的速度等于后轮的线速度，大小齿轮是同一条传送带相连，故线速度相等，故根据公式可得：ω1r1＝ω2r2，解得ω2＝ω1r1r2，小齿轮和后轮是同轴转动，所以两者的角速度相等，故线速度v＝r3ω2＝2πnr1r3r2，故D正确．1．对公式v＝ωr的理解当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比.2．对a＝v2r＝ω2r＝ωv的理解在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．3．常见的三种传动方式及特点(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.(2)摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.(3)同轴传动：如图丁、戊所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．圆周运动的动力学问题【题组过关】1.(2019·绍兴高三选考适应考试)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球A，细线的上端固定在金属块B上，B放在带小孔的水平桌面上，小球A在某一水平面内做匀速圆周运动．现使小球A改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块B在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是()A．金属块B受到桌面的静摩擦力变大B．金属块B受到桌面的支持力减小C．细线的张力变大D．小球A运动的角速度减小解析：选D.设A、B质量分别为m、M，A做匀速圆周运动的向心加速度为a，细线与竖直方向的夹角为θ，对B研究，B受到的静摩擦力f＝Tsinθ，对A，有：Tsinθ＝ma，Tcosθ＝mg，解得a＝gtanθ，θ变小，a减小，则静摩擦力大小变小，故A错误；以整体为研究对象知，B受到桌面的支持力大小不变，应等于(M＋m)g，故B错误；细线的拉力T＝mgcosθ，θ变小，T变小，故C错误；设细线长为l，则a＝gtanθ＝ω2lsinθ，ω＝glcosθ，θ变小，ω变小，故D正确．2.如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，则()A．若盒子到最高点时，盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为2πRgB．若盒子以周期πRg做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平位置时，小球对盒子左侧面的力为4mgC．若盒子以角速度2gR做匀速圆周运动，则当盒子运动到最高点时，小球对盒子的下面的力为3mgD．盒子从最低点向最高点做匀速圆周运动的过程中，小球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中，小球处于失重状态答案：A3.(2019·湖州质检)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是()A．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动B．物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越近C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动D．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远答案：A1．常见圆周运动动力学问题的模型运动模型飞机在水平面内做圆周运动火车转弯圆锥摆向心力的来源图示运动模型飞机在水平面内做圆周运动火车转弯圆锥摆运动模型飞车走壁汽车在水平路面转弯水平转台向心力的来源图示2.“一、二、三、四”求解圆周运动问题竖直面内的圆周运动【知识提炼】1．物体在竖直平面内的圆周运动有匀速圆周运动和变速圆周运动两种．2．只有重力做功的竖直平面内的圆周运动一定是变速圆周运动，遵守机械能守恒．3．竖直平面内的变速圆周运动问题，往往涉及最高点和最低点的两种情形．运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接、小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．绳、杆模型常涉及临界问题，分析如下：轻绳模型轻杆模型常见类型过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球能运动即可，得v临＝0轻绳模型轻杆模型讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝mv2r，绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点时v＜gr在最高点：(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v＜gr时，－FN＋mg＝mv2r，FN背离圆心且随v的增大而减小(3)当v＝gr时，FN＝0(4)当v＞gr时，FN＋mg＝mv2r，FN指向圆心并随v的增大而增大【典题例析】(2019·绍兴检测)如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0m，B点离地高度H＝1.0m，A、B两点的高度差h＝0.5m，重力加速度g取10m/s2，不计空气影响，求：(1)地面上DC两点间的距离x；(2)轻绳所受的最大拉力大小．[审题指导](1)小球从A→B做圆周运动，其机械能守恒，轻绳断前瞬间绳拉力与重力的合力提供向心力．(2)绳断瞬间，小球速度方向水平，做平抛运动．平抛初速度等于绳断瞬间的速度．[解析](1)小球从A到B过程机械能守恒，有mgh＝12mv2B①小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有H＝12gt2②在水平方向上有x＝vBt③由①②③式解得x≈1.41m.(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有F－mg＝mv2BL④由①④式解得F＝20N根据牛顿第三定律得F′＝－F故轻绳所受的最大拉力大小为20N.[答案](1)1.41m(2)20N解决圆周运动问题的基本思路(1)寻找向心力的来源：对物体进行受力分析，列出向心力表达式．(2)临界条件的判断：找出特殊位置的临界速度，分析可能存在的状态．(3)动能定理的应用：把特殊点推广到一般，研究整个运动过程的特点．【题组过关】考向1汽车过拱桥模型1.(2019·金华质检)如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上．若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用的时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则()A．t1t2B．t1＝t2C．t1t2D．无法比较t1、t2的大小解析：选A.在滑道AB段上取任意一点E，比较从A点到E点的速度v1和从C点到E点的速度v2，易知v1v2.因E点处于“凸”形轨道上，速度越大，轨道对小滑块的支持力越小，因动摩擦因数恒定，则摩擦力越小，可知由A滑到C比由C滑到A在AB段上的摩擦力小，因摩擦造成的动能损失