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第一章集合与常用逻辑用语第一节集合内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.集合的相关概念(1)元素与集合的两种关系：属于，记为___；不属于，记为__.(2)集合的三种表示方法：_______、_______、_______.∈∉列举法描述法图示法(3)常用的数集：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作_____(或_____).(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作_____或_____.(3)相等：如果A⊆B，并且_____，则A=B.A⊆BB⊇AABBAB⊆A3.集合的基本运算A∪B=_________________.A∩B=_________________.∁UA=________________.{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}【常用结论】(1)A∪B=A⇔B⊆A，A∩B=A⇔A⊆B.(2)A∩A=A，A∩=.(3)A∪A=A，A∪=A.(4)A∩(∁UA)=，A∪(∁UA)=U，∁U(∁UA)=A.(5)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集.()(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.()(3)若{x2,x}={-1,1},则x=-1.()(4)若A∩B=A∩C,则B=C.()提示:(1)×.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.(2)×.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.(3)√.(4)×.当A=时,B,C可为任意集合.【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽略了对空集的讨论考点三、角度3T22对集合的表示方法认识不够,忽略代表元素考点一、T1,43对元素的三特性重视不够,忽略互异性考点一、T34对于集合的运算掌握不熟练考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修1P13练习AT1改编)若集合P={x∈N|x≤}，a=2，则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P【解析】选D.因为a=2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a∉P.20212202122.(必修1P17练习AT4改编)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|0x≤4},则A∪B=()A.[-1,4]B.(0,3]C.(-1,0]∪(1,4]D.[-1,0]∪(1,4]【解析】选A.A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},故A∪B=[-1,4].3.(必修1P19练习BT3改编)设全集为R,集合A={x|0x2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=()A.{x|0x≤1}B.{x|0x1}C.{x|1≤x2}D.{x|0x2}【解析】选B.因为集合B={x|x≥1},所以∁RB={x|x1},所以A∩(∁RB)={x|0x1}.4.(必修1P16例1改编)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=()A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【解析】选C.A∩B={3,5}.5.(必修1P24自测与评估T2改编)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________.【解析】由已知得M∪N={0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26=64(个).答案:64思想方法分类讨论思想在集合中的应用典例已知集合A={x|x2-3x-10≤0},若集合B={x|p+1≤x≤2p-1},且B⊆A,则实数p的取值范围为________.【解析】由x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5,所以A={x|-2≤x≤5}.B⊆A,则有①当B=时,有p+12p-1,即p2.②当B≠时,利用数轴可知:解得2≤p≤3.综合①②得实数p的取值范围是(-∞,3].答案:(-∞,3]p12p12p12p15＋－，－＋，－，【思想方法指导】关于集合关系的讨论(1)先将不含参数的集合求出.(2)对于含参数的集合,先讨论是否为,当不是时再比较端点的大小,特别注意是否包含端点.(3)分析端点关系时,常借助数轴,直观且准确.【迁移应用】已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的值是________.【解析】因为集合A有且只有2个子集,所以A仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个根.当a=0时,A={0}符合题意;当a≠0时,要满足题意,需有Δ=4-4a2=0,即a=±1.综上所述,a=0或a=±1.答案:0或±1