（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.3 平面向量的数量积及平面向量

第三节平面向量的数量积及平面向量的应用内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.两个向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则______就是a与b的夹角，记作a，b设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是________________θ=0°或θ=180°⇔_____，________⇔a⊥b∠AOB0°≤θ≤180°a∥bθ=90°OAOB2.向量的数量积(1)平面向量的数量积(内积)的定义：a·b=|a||b|cosa，b.(2)向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e=e·a=__________________________；②a⊥b⇔_______；③a·a=____，|a|=④cosa，b=(__________)；⑤|a·b|___|a||b|.|a|cosθ(θ是a与e的夹角)a·b=0|a|2|a||b|≠0≤2；aaaabab(3)数量积的运算律①交换律：a·b=_____；②分配律：(a+b)·c=__________；③对λ∈R，λ(a·b)=_________=_________.(4)数量积的坐标运算设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，则①a·b=________；②a⊥b⇔__________；③|a|=__________；④cosa，b=b·aa·c+b·c(λa)·ba·(λb)a1b1+a2b2a1b1+a2b2=02212aa112222221212abab.aabb【常用结论】(1)两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b0且a与b不共线.(2)两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b0且a与b不共线.(3)|a|cosθ(|b|cosθ)(θ是a与b的夹角)叫做向量a在b(b在a)方向上的投影.(4)(a±b)2=a2±2a·b+b2.(5)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(6)a与b同向时，a·b=|a||b|.(7)a与b反向时，a·b=-|a||b|.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.()(3)a·b0,则a与b的夹角为锐角;a·b0,则a与b的夹角为钝角.()(4)两向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()[0]2，提示:(1)×.由两个向量夹角的定义可知:两个向量夹角的范围为(2)√.因为向量a在b方向上的投影|a|cosθ,它是一个实数值.(3)×.因为a·b0,则a与b的夹角为锐角或零角;a·b0,则a与b的夹角为钝角或平角.(4)√.由向量的数量积,向量的加法、减法、数乘运算的定义可知,两个向量的数量积结果为一实数,两个向量的和或差结果为向量,向量的数乘运算结果为向量.[0].，【易错点索引】序号易错警示典题索引1对“向量a在b方向上的投影”理解不准确考点一、T32数——向量与形——几何关系之间不能灵活转化考点二、T23混淆向量平行、垂直的等价条件考点三、角度3【教材·基础自测】1.(必修4P128自测与评估T5改编)设a=(5,-7),b=(-6,t),若a·b=-2,则t的值为()A.-4B.4C.D.-【解析】选A.因为a·b=5×(-6)-7t=-2,所以t=-4.3273272.(必修4P128自测与评估T4改编)已知|a|=2,|b|=6,a·b=-6,则a与b的夹角θ为()【解析】选D.cosθ=,又0≤θ≤π,则θ=325A.B.C.D.6336633262－＝＝－abab5.63.(必修4P108例1改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.【解析】b在a方向上的投影为|b|cosθ=4×cos120°=-2.答案:-24.(必修4P115习题2-3AT6改编)在圆O中,长度为的弦AB不经过圆心,则的值为________.【解析】设向量的夹角为θ,则答案:12AOABAOAB，211AOABAOABcosAOcosABABAB21.22＝＝＝＝＝【核心素养】数学运算——向量与三角变换的综合【素养诠释】数学运算是根据法则、公式进行变形的正确运算,根据问题的条件寻找与设计合理、简洁的运算途径,它包括:分析运算条件、探究运算公式、确定运算程序.与向量数量积有关运算求解能力应关注以下三点:(1)平面向量数量积的定义及运算公式.(2)明确是哪两个向量的数量积.(3)能建立平面直角坐标系的尽量建立坐标系.【典例】(2017·江苏高考)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值.(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.3【素养立意】向量数量积与三角恒等变换,三角函数图象与性质结合,考查数学运算的核心素养.【解析】(1)因为a∥b,所以3sinx=-cosx,又cosx≠0,所以tanx=-,因为x∈[0,π],所以x=.(2)因为x∈[0,π],所以x-所以-≤1,所以-2≤3,当x-,即x=0时,f(x)取得最大值,为3;当x-,即x=时,f(x)取得最小值为-2.33356f(x)3cosx3sinx23sin(x).3－－－2[,]333，3sin(x)23－3f(x)33－32563