（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角的概念与弧度制、

第四章三角函数、解三角形第一节任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.任意角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的_____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类：按旋转方向分为___角、___角、___角；按终边位置分为_____角、_____角.(3)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合：S={β|β=__________________}.端点正负零象限轴线α+k·360°，k∈Z2.弧度制(1)长度等于_______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；1弧度=______.(2)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l=______，扇形的面积为S=______=__________.180()半径长α·r1r2l21r23.任意角的三角函数(1)定义设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|，则sinα=，cosα=，tanα=.(x≠0).yrxryx(2)三角函数线【常用结论】1.明晰角的概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等.2.两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用.3.一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.4.三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|，则sinα=，cosα=，tanα=.yrxryx【知识点辨析】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()提示：(1)×.锐角的取值范围是.(2)×.第一象限角不一定是锐角.(3)×.顺时针旋转得到的角是负角.(4)×.终边相同的角不一定相等.(0)2，【易错点索引】序号易错警示典题索引1结果要表示成集合形式考点一、T22在弧长公式中，注意角的大小用弧度制，不是角度制考点二、T13用定义求三角函数值，注意判断符号考点三、角度3T2【教材·基础自测】1.(必修4P5例2改编)角-870°的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.-870°=-2×360°-150°，-870°和-150°的终边相同，所以-870°的终边在第三象限.2.(必修4P12练习BT5改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z)D.kπ+(k∈Z)【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度,应为+2kπ或k·360°+45°(k∈Z).94945443.(必修4P17练习AT1改编)已知角α的终边过点P(8m,3),且cosα=-,则m的值为()A.-B.C.-D.【解析】选A.由已知得m0且,解得m=-.4512123232228m458m3＝－＋124.(必修4P6例4改编)在-720°～0°范围内,所有与角α=45°终边相同的角β构成的集合为________.【解析】所有与角α终边相同的角可表示为:β=45°+k×360°(k∈Z),则令-720°≤45°+k×360°0°(k∈Z),得-765°≤k×360°-45°(k∈Z).解得k=-2或k=-1,所以β=-675°或β=-315°.答案:{-675°,-315°}核心素养直观想象——利用三角函数线解不等式【典例】函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为________.【解析】因为3-4sin2x0,所以sin2x,所以-sinx.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),所以x∈(k∈Z).答案:(k∈Z)343232(kk)33－，＋(kk)33－，＋【思想方法指导】根据三角函数值的范围,确定角的终边在单位圆中的区域,可写出解集.【迁移应用】在(0,2π)内,使sinxcosx成立的x的取值范围为________.【解析】如图所示,找出在(0,2π)内,使sinx=cosx的x值,sin=cos=,sin=cos=-.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角的范围,所以x∈.答案:44225454225()44，5()44，