（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.7.1

第七节离散型随机变量的均值与方差第一课时离散型随机变量的均值与方差内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.离散型随机变量X的数学期望与方差已知离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn，则有(1)数学期望(均值)：计算公式：E(X)=_______________________.作用：反映了离散型随机变量取值的_________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn平均水平(2)方差：计算公式：D(X)=____________________.作用：刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________.(3)标准差：σ=_________.n2iii1(xEX)pDX平均偏离程度2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=________(a，b为常数).(2)D(aX+b)=______(a，b为常数).3.几个特殊分布的期望与方差分布期望方差两点分布E(X)=pD(X)=p(1-p)二项分布E(X)=npD(X)=np(1-p)aE(X)+ba2D(X)【常用结论】1.两点分布实际上是n=1时的二项分布.2.方差D(X)==E(X2)-E2(X).3.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.n2iii1(xEX)p【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.()(2)随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.()(4)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球20次的得分X的均值是0.7.()提示:(1)×.期望与概率有关.(2)√.根据数学期望的定义得到正确.(3)√.根据方差和标准差的定义得到正确.(4)×.变量X服从二项分布B(20,0.7),所以均值为20×0.7=14.【易错点索引】序号易错警示典题索引1均值、方差的定义出错考点一、T1，22均值、方差的计算出错考点一、T3，43二项分布、正态分布的均值、方差记错公式考点二、T1，24实际问题中计算均值、方差出错考点三、角度15根据均值、方差决策错误考点三、角度2【教材·基础自测】1.(选修2-3P68习题2.3A组T1)已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则E(3X+5)=________.13【解析】设Y=3X+5,则Y的分布列为所以E(Y)=8×+11×+14×=11.答案:11Y81114P1313131313132.(选修2-3P68习题2.3A组T3)一个正四面体ABCD的四个顶点上分别标有1分,2分,3分和4分,往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X,则X的均值为________.【解析】X的分布列为:所以E(X)=1×+2×+3×+4×=.答案:X1234P141414141414141452523.(选修2-3P68习题2.3A组T2)已知随机变量ξ的分布列如表所示,则m=________;E(ξ)=________.ξ12Pm13【解析】因为+m=1,所以m=,所以E(ξ)=1×+2×=.答案:13132323235353核心素养数学建模——离散型随机变量的均值、方差模型【素养诠释】应用意识指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题.解答离散型随机变量的均值与方差实际应用题时,要注意以下两点:(1)明确题意,找准变量之间的关系,注意所学概率模型(相互独立事件、二项分布等)的应用.(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.【典例】低碳生活,从“衣食住行”开始.在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人们可以由此计算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数×0.785,家用天然气的二氧化碳排放量(千克)=天然气使用立方数×0.19等.某校开展“节能减排,保护环境,从我做起!”的活动,该校高一·六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查.生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的比例P数据如下:东城小区低碳家庭非低碳家庭比例P西城小区低碳家庭非低碳家庭比例P12121545(1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭,求4个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率.(2)该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义,每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入“低碳家庭”的行列中.宣传两周后随机地从东城小区中任选5个家庭,记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”的个数,求E(ξ)和D(ξ).【素养立意】(1)按照互斥事件、独立事件的概率公式计算.(2)先判断随机变量符合二项分布,再利用公式计算均值、方差.【解析】(1)设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A,则有以下三种情况:“低碳家庭”均来自东城小区,“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区,“低碳家庭”均来自西城小区.所以11111141114433PA4.225522552255100(2)因为东城小区每周有20%的家庭加入“低碳家庭”行列,经过一周后,低碳家庭占比例变为非低碳家庭占比例变为两周后低碳家庭占比例变为非低碳家庭占比例为经过两周后,两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下:东城小区低碳家庭非低碳家庭P113(1),255112(1)255，248,5525172582532117(),55525由题意,两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数ξ服从二项分布,即ξ～B(5,),所以E(ξ)=D(ξ)=172517175255，1781365.2525125