（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.5 离散

第五节离散型随机变量及其分布列内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.离散型随机变量分布列(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则表nii1pXx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式_________________________表示X的分布列.(2)性质：①____________________；②=1.P(X=xi)=pi，i=1，2，…，npi≥0(i=1，2，…，n)2.常见的两类分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P____p1-p其中p=_______称为成功概率.P(X=1)(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mP…knkMNMnNCCC0n0MNMnNCCC1n1MNMnNCCCmnmMNMnNCCC如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.【常用结论】1.离散型随机变量在指定范围的概率等于本范围内所有随机变量取值的概率和.2.利用p1+p2+…+pn=1可检验所求分布列是否正确.3.若X是离散型随机变量，则Y=aX+b(a，b∈R)也是离散型随机变量，且P(Y=yi)=P(X=xi)，其中yi=axi+b.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.()(2)小明住在石家庄,工作在北京,已知石家庄到北京的高铁每20分钟一班,则小明到达石家庄高铁车站需要等候的时间X是离散型随机变量.()(3)某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分布.()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.()(5)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()提示:(1)√.正面向上的次数为0,1,所以是随机变量.(2)×.等候时间X不是离散型随机变量,因为X可以是[0,20]内的任何一个实数.(3)×.命中的次数X的取值是0,1,2,3,有4个数,而两点分布只有0,1,所以X不服从两点分布.(4)√.X的值为0,1,2,3,符合超几何分布的特征.(5)×.取各个值的概率之和为1.(6)√.取各个值时的事件两两互斥,它们的并集是必然事件.【易错点索引】序号易错警示典题索引1辨别离散型随机变量时出错考点一、T12应用分布列的性质时出错考点一、T23求分布列、超几何分布等计算概率出错考点一、T4考点二、例24两点分布的概念理解错误考点二、例15交汇问题中计算出错考点三、角度1，2，3【教材·基础自测】1.(选修2-3P44练习AT2改编)抛掷两枚质地均匀的硬币，则正面向上的个数X的分布列为()【解析】选C.因为P(X=1)=，所以A，B不正确；又因为P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1.所以D不正确，故选C.122.(选修2-3P43例3改编)设X是一个离散型随机变量,其分布列为:则q的值为()X-101P2q216111A.1B.C.D.236113q6【解析】选B.由分布列的性质知2q2+-3q+=1,解得q=1或q=,又因为2q21,01,所以舍去q=1,所以q=.11616113q612123.(选修2-3P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为则P(|X-3|=1)=________.X1234Pm131416【解析】由解得m=,P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=答案:111m1346＋＋＋＝，14115.4612＋＝5124.(选修2-3P44练习BT1改编)某项大型赛事,需要从高校选拔青年志愿者,某大学学生实践中心积极参与,从8名学生会干部(其中男生5名,女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X,求X的分布列.【解析】因为8名学生会干部中有5名男生,3名女生,所以X的分布列服从参数为N=8,M=3,n=3的超几何分布.X的所有可能取值为0,1,2,3,其中P(X=i)=(i=0,1,2,3),则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为X0123Pi3i3538CCC033538CCC528123538CCC1528213538CCC1556303538CCC15652815281556156思想方法离散型随机变量及其分布列中的分类与整合思想【典例】在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量X的最大值,并求事件“X取得最大值”的概率.(2)求随机变量X的分布列.【解析】(1)由题意知,x,y可能的取值为1,2,3,则|x-2|≤1,|y-x|≤2,所以X≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,X=3.因此,随机变量X的最大值为3.有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9(种),所以P(X=3)=,故随机变量X的最大值为3,事件“X取得最大值”的概率为.2929(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.当X=0时,只有x=2,y=2这一种情况;当X=1时,有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况;当X=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况;当X=3时,有x=1,y=3或x=3,y=1两种情况.所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.29291949所以X的分布列为:X0123P19492929【思想方法指导】分类与整合思想是将较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.解决有关离散型随机变量的分布列问题时,要注意以下几点:(1)仔细审题,明确随机变量的所有可能取值及其对应事件,做到不重不漏、分类互斥.(2)求事件概率时注意互斥事件和对立事件概率公式的应用.【迁移应用】自2013年10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来,我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系.某公司为了扩大生产规模,欲在海上丝绸之路经济带(南线):泉州—福州—广州—海口—北海(广西)—河内—吉隆坡—雅加达—科伦坡—加尔各答—内罗毕—雅典—威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房,根据这13个城市的需求量生产产品,并将其销往这13个城市.(1)求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率.(2)已知每间工业厂房的月产量为10万件,若一间厂房正常生产,则每月可获得利润100万;若一间厂房闲置,则该厂房每月亏损50万.该公司为了确定建设工业厂房的数目n,统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据,得如下频数分布表:月需求量(单位:万件)100110120130月份数6241812若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率,设该产品每月的总利润为Y,分别求出该公司建设工业厂房的数目n=11,n=12,n=13时,Y的分布列.【解析】(1)记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”,则P(A)=,所以该公司所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为.(2)①当n=11时,月需求量为100万件时,月产量为10×11万件,所以只需要10间厂房正常生产,每月获利10×100万=1000万,另外一间闲置,亏损50万,所以月总利润为1000-50=950万,此时对应的概率为=0.1,同理P(Y=1100)=0.9.38313C1151C143115143660Y的分布列为:Y9501100P0.10.9②当n=12时,Y的分布列为:③当n=13时,Y的分布列为:Y90010501200P0.10.40.5Y850100011501300P0.10.40.30.2