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第三节利用导数研究函数的极值、最值内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点：若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值_____，f′(a)=0，而且在点x=a附近的左侧_________，右侧_________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.都小f′(x)0f′(x)0(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值_____，f′(b)=0，而且在点x=b附近的左侧_________，右侧_________，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.都大f′(x)0f′(x)02.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条_________的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y=f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y=f(x)在(a，b)内的_____；②将函数y=f(x)的各极值与_________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)【常用结论】1.辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点.(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念.2.明确两个条件(1)f′(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件.(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.3.记住两个结论(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点.(2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间(a,b)内一定存在最值.()(2)函数的极大值一定比极小值大.()(3)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值,最小值也不一定是极小值.()提示:(1)×.例如函数f(x)=x,在(1,2)内不存在最值.(2)×.函数的极大值比局部的函数值大,不一定大于极小值.(3)×.对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的必要条件.(4)√.最值和极值是不同的概念.函数的最值可能是极值,也可能是在区间端点处取得.【易错点索引】序号易错警示典题索引1f(x)与f′(x)的图象混淆考点一、角度12忽视单调函数无极值考点一、角度23含参最值问题,忽视分类讨论,最值确定不当考点二、典例4实际问题中题意理解不准确,定义域确定出错考点三、典例【教材·基础自测】1.(选修2-2P30练习AT1改编)函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点【解析】选C.设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1,x2,x3,x4.当xx1时,f′(x)0,f(x)为增函数,当x1xx2时,f′(x)0,f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点.2.(选修2-2P30练习AT2改编)函数f(x)=x3-12x的极小值为________,极大值为________.【解析】由题意可得f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f′(x)=0,得x=-2或x=2,则f′(x),f(x)随x的变化情况如表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)在x=-2处取得极大值16,函数f(x)在x=2处取得极小值-16.答案:-16163.(选修2-2P30练习BT2改编)已知函数f(x)=x3-6x2+9x,则f(x)在闭区间[-1,5]上的最小值为________,最大值为________.【解析】f′(x)=3x2-12x+9,令f′(x)=0,即x2-4x+3=0,得x=1或x=3,当-1x1或3x5时,f′(x)0,所以f(x)在(-1,1),(3,5)上为增函数,当1x3时,f′(x)0,所以f(x)在(1,3)上为减函数,f(-1)=-16,f(3)=0,f(1)=4,f(5)=20,故f(x)在闭区间[-1,5]上的最小值为-16,最大值为20.答案:-1620思想方法数形结合思想在函数极值问题中的应用【典例】(2020·珠海模拟)若函数f(x)=ex(x-3)-kx3+kx2只有一个极值点,则k的取值范围为()A.(-∞,e)B.(0,e]C.(-∞,2)D.(0,2]13【解析】选B.f′(x)=ex(x-2)-kx2+2kx=(x-2)(ex-kx),若函数f(x)=ex(x-3)-kx3+kx2只有一个极值点,则f′(x)=0只有一个实数解,则ex-kx≥0,从而得到ex≥kx,设u(x)=ex,h(x)=kx,如图:当两函数相切时,k=e,此时得到k的最大值,但k0时不成立.故k的取值范围为(0,e].13【思想方法指导】(1)函数极值问题通常可转化为方程根的个数或不等式问题.(2)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的解题思路,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.(3)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式的结构特征,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.【迁移应用】(2019·黄山模拟)已知函数f(x)=-ax有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.B.(-1,+∞)C.(-1,0)D.【分析】函数f(x)有两个极值点,转化为方程f′(x)=0有两不等实根,利用参数分离法进行转化求解即可.xx1e1()e，1(0)e，【解析】选D.因为函数f(x)有两个极值点,所以方程f′(x)=--a=0有两个不同的根,即-a=有两个不同的根,设g(x)=,则g′(x)=,由g′(x)0得x1,由g′(x)0得x1;即当x=1时,函数g(x)取得极大值同时也是最大值,g(1)=,又g(0)=0,当x0时,g(x)0;作出函数的简图如图:因为g(x)与直线y=-a有两不同交点,所以0-a,即-a0.xxexxexxex1xe1e1e1e