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第四节空间中的垂直关系内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评【教材·知识梳理】1.直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面α内的_____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.任意(2)判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条_____直线垂直，则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____相交平行2.直线和平面所成的角定义：一条斜线和它在平面上的_____所成的___________叫做这条直线和这个平面所成的角.范围是_______.射影锐角或直角[0,]23.平面与平面垂直(1)二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直.两个半平面垂直于棱直二面角(3)判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面垂直垂线交线【常用结论】1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.3.三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.4.三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.()(2)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.()(3)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.()(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.()(5)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(6)如果两个平面所成的二面角为90°,则这两个平面垂直.()提示:(1)×.直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α.(2)√.(3)√.(4)×.若α⊥β,a⊥β,则a∥α或a⊂α.(5)×.若两平面垂直,则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.(6)√.【易错点索引】序号易错警示典题索引1证明线面垂直时忽视平面上的两条直线相交考点一、T3考点三、角度12证明面面垂直时找错直线考点一、T3,43应用面面垂直的性质定理时忽视与交线垂直考点三、角度24线面角、二面角概念混淆致误考点二、T1,2【教材·基础自测】1.(必修2P55练习AT3改编)已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直【解析】选D.A中平面可与α平行或相交,不正确.B中直线可与α有各种线面关系,不正确.C中平面可与直线l平行或相交,不正确.2.(必修2P56习题1-2AT11改编)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,所以n⊥l.3.(必修2P57习题1-2BT9改编)在△ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,则图中直角三角形的个数是________.【解析】因为∠ABC=90°,故△ABC是直角三角形;因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,故△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形.答案:44.(必修2P57习题1-2BT8改编)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.【解析】如图,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点H,D,G.因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所以PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,所以PC⊥AB,因为AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面PGC,所以AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.答案:垂