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第二节平面的基本性质及两直线位置关系内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评【教材·知识梳理】1.四个公理公理1：如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.公理2：过_______________上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们_____________过这个点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线_________.两点不在同一条直线有且只有一条互相平行2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：(2)异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；范围：(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.锐角(或直角)(0].2，【常用结论】1.公理的作用公理1：可用来证明点、直线在平面内.公理2：可用来确定一个平面.公理3：(1)可用来确定两个平面的交线.(2)判断或证明多点共线.(3)判断或证明多线共点.公理4：(1)可用来判断空间两条直线平行.(2)等角定理的理论依据.2.异面直线的两个结论(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.()(3)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α.()(4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线.()(5)空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等.()提示:(1)×.没有公共点的两条直线也可能平行.(2)×.两个平面α,β有一个公共点A,则α,β相交于过A点的唯一一条直线.(3)√.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α.(4)×.分别在两个平面内的两条直线可能是相交直线,也可能是平行直线,也可能是异面直线.(5)×.如果这两个角开口方向一致,则它们相等,若反向则互补.【易错点索引】序号易错警示典题索引1三点确定平面时忽视三点共线情况考点一、T12一点一线确定平面时忽视点在线上的情况考点一、T13公理3理解不透致误考点一、T34忽视异面直线所成角的范围致误考点二、T25异面直线概念理解错误考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修2P38练习AT1改编)下列说法正确的个数为()①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交,①③正确.2.(必修2P38练习AT6改编)给出下列命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行.④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确.3.(必修2P56习题A组T7改编)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面【解析】选B.因为若存在过点P的直线与l，m都平行，由传递性，知l，m也平行，与已知l，m是异面直线矛盾，所以A错误，当点P在某些位置时，过点P不存在直线与l，m都相交，所以C错误，过点P有无数多条直线与l，m都异面，所以D错误，因为过点P分别作l，m的平行线l′，m′，则这两条直线确定一个平面，过点P作这个平面的垂线是唯一存在的，所以过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，即B正确.4.(必修2P55习题1-2AT1改编)两两平行的三条直线可确定________个平面.【解析】三直线共面确定1个,三直线不共面,每两条确定1个,可确定3个.答案:1或3