第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【课程要求】1.理解命题的概念及命题构成,了解“若p,则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【基础检测】概念辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题.()(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(4)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.()(5)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√(5)√教材改编2.[选修2-1p8T3]下列命题是真命题的是()A.矩形的对角线相等B.若a>b,c>d,则ac>bdC.若整数a是素数,则a是奇数D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题[答案]A3.[选修2-1p12T2(2)]“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)[答案]充分不必要易错提醒4.命题“若x2y2,则xy”的否命题是()A.若xy,则x2y2B.若x≤y,则x2≤y2C.若x2y2,则xyD.若x2≤y2,则x≤y[解析]根据原命题和其否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2y2,则xy”的否命题是“若x2≤y2,则x≤y”.[答案]D5.若x∈R,则“x1”是“1x1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]当x1时,1x1成立,而当1x1时,x1或x0,所以“x1”是“1x1”的充分不必要条件,选A.[答案]A6.已知命题:“若x≥0,y≥0,则xy≥0”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4[解析]由题得原命题“若x≥0,y≥0,则xy≥0”是真命题,所以其逆否命题也是真命题.逆命题为:“若xy≥0,则x≥0,y≥0”,是假命题,所以否命题也是假命题,所以四个命题中,真命题的个数为2.[答案]B【知识要点】1.命题用语言、符号或式子表达的,可以__________的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做________,判断为假的语句叫做_______.2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系判断真假真命题假命题若q,则p若¬p,则¬q若¬q,则¬p(2)四种命题间的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有______的真假性;②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性__________.相同没有关系3.充要条件充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若p⇒q,则p是q的______条件,q是p的_____条件p成立的对象的集合为A,q成立的对象的集合为Bp是q的___________条件p⇒q且qpA是B的_______集合与充要条件的关系p是q的__________条件pq且q⇒pB是A的_______p是q的_______条件p⇔qA=Bp是q的_________________条件pq且qpA,B互不_______充分必要充分不必要真子集必要不充分真子集充要既不充分也不必要包含四种命题及其相互关系例1(1)命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是()A.若xy,则x2y2B.若x≤y,则x2≤y2C.若xy,则x2y2D.若x≥y,则x2≥y2[解析]根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.[答案]B(2)(多选)下列命题是真命题的是()A.“若a2b2,则ab”的否命题B.“全等三角形的面积相等”的逆命题C.“若a1,则ax2-2ax+a+30的解集为R”的逆否命题D.“若3x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题[解析]对于A,否命题为“若a2≥b2,则a≥b”,为假命题;对于B,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,为假命题;对于C,当a1时,Δ=-12a0,原命题为真,从而其逆否命题为真;对于D,原命题为真命题,从而其逆否命题为真命题.[答案]CD[小结](1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.1.命题“已知a1,若x0,则ax1”的否命题为()A.已知0a1,若x0,则ax1B.已知a1,若x≤0,则ax1C.已知a1,若x≤0,则ax≤1D.已知0a1,若x≤0,则ax≤1[解析]命题中,“已知a1”是大前提,在四种命题中不能改变;“x0”是条件,“ax1”是结论.由于命题“若p,则q”的否命题为“若綈p,则綈q”,故该命题的否命题为“已知a1,若x≤0,则ax≤1”.故选C.[答案]C2.设原命题:“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”,则原命题与其逆命题的真假情况是()A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题[解析]可以考虑原命题的逆否命题,即“a,b都小于1,则a+b2”,显然为真.其逆命题,即“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”为假,如a=1.2,b=0.2,则a+b2.[答案]A充分、必要条件的判断例2(1)对于直线m,n和平面α,β,m⊥α成立的一个充分条件是()A.m⊥n,n∥αB.m∥β,β⊥αC.m⊥β,n⊥β,n⊥αD.m⊥n,n⊥β,β⊥α[解析]对于选项C,因为m⊥β,n⊥β,所以m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,故选C.[答案]C(2)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]法一:∵数列{an}是公差为d的等差数列,∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d,∴S4+S6=10a1+21d,2S5=10a1+20d.若d>0,则21d>20d,10a1+21d>10a1+20d,即S4+S6>2S5.若S4+S6>2S5,则10a1+21d>10a1+20d,即21d>20d,∴d>0.∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件.故选C.法二:∵S4+S6>2S5⇔S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)⇔a6>a5⇔a5+d>a5⇔d>0,∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件.故选C.[答案]C[小结]充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.3.已知条件p:x1或x-3,条件q:5x-6x2,则綈p是綈q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]由5x-6x2,得2x3,即q:2x3.所以q⇒p,pq,所以綈p⇒綈q,綈q綈p,所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A.[答案]A4.在△ABC中,“AB”是“sinAsinB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]由正弦定理知asinA=bsinB=2R(R为△ABC外接圆半径).若sinAsinB,则a2Rb2R,即ab,所以AB;若AB,则ab,所以2RsinA2RsinB,即sinAsinB,所以“AB”是“sinAsinB”成立的充要条件.[答案]C根据充分、必要条件求参数的取值范围例3(1)已知集合A=y|y=x+1x,x∈12,2,B={x|x+m2≥6}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围是__________.[解析]由y=x+1x在12,1上单调递减,在(1,2)上单调递增,得2≤y52,∴A=y|2≤y52.由x+m2≥6,得x≥6-m2,∴B={x|x≥6-m2}.∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,∴AB,∴6-m2≤2,解得m≥2或m≤-2,故实数m的取值范围是-∞,-2∪2,+∞.[答案]-∞,-2∪2,+∞(2)已知集合A=x|122x8,x∈R,B={x|-1xm+1,x∈R},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是__________.[解析]A=x|122x8,x∈R={x|-1x3},∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,∴A⊆B,∴m+13,即m2.[答案]2,+∞[小结]充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;(2)要注意区间端点值的检验.5.若“x2m2-3”是“-1x4”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是()A.[-3,3]B.(-∞,-3]∪[3,+∞)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.[-1,1][解析]∵“x2m2-3”是“-1x4”的必要不充分条件,∴(-1,4)⊆(2m2-3,+∞),∴2m2-3≤-1,解得-1≤m≤1,故选D.[答案]D6.已知p:|x-1|2,q:x2-2x+1-a2≥0(a0),若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是____________.[解析]由题可得p:x3或x-1,q:x2-2x+1-a2≥0,[x-(1-a)]·[x-(1+a)]≥0,∵a>0,∴1-a<1+a,解得x≥1+a或x≤1-a.因为q是p的必要不充分条件,故1+a≤3,1-a≥-1,a0,解得0<a≤2.[答案](0,2]充要条件的证明例4设数列an的前n项和为Sn,已知条件p:对∀n,m∈N*,当nm时,总有Sn-Sm=Sn-m+mn-md(其中d为常数),条件q:数列an是等差数列.求证:条件p是条件q的充要条件.[解析](充分性)∵当n>m时,总有Sn-Sm=Sn-m+mn-md,∴当n≥2时,Sn-Sn-1=S1+(n-1)d,即an=a1+(n-1)d,且n=1也成立,∴当n≥2时,an-an-1=a1+(n-1)d-a1-(n-2)d=d,∴数列{an}是等差数列;(必要性)∵数列{an}是等差数列,∴当n>m时,Sn-Sm-Sn-m=am+1+am+2+…+an-Sn-m=(n-m)am+1+(n-m)(n-m-1)2d-(n-m)a1+(n-m)(n-m-1)2d=(n-m)(am+1-a1)=m(n-m)d,∴Sn-Sm=Sn-m+m(n-m)d,∴条件p:“对∀n,m∈N*,当nm时,总有Sn-Sm=Sn-m+mn-md(其中d为常数)”是条件q:“数列an是等差数列”的充要条件.[小结]充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的热点.高考主要考查充分条件、必要条件的判断,常以选择题的形式出现,难度不大,属于基础题.充分条件、必要条件作为一个重要载体,考查的数学知识面较广,几乎涉及数学知识各个方面.(2019·全