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[知识体系]第1讲集合及其运算【课程要求】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性．2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义．3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．()(2){x|y＝x＋1}＝{y|y＝x＋1}＝{(x，y)|y＝x＋1}．()(3)若{x，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.()(4){x|x≤2}＝{a|a≤2}．()(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×教材改编2．[必修1p44A组T4]已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，若A⊆B，则a的值为()A．－2B．－1C．0D．1[解析]因为{0，1}⊆{－1，0，a＋3}，所以a＋3＝1，解得a＝－2.[答案]A3．[必修1p11例9]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________．[答案]{x|x是直角}4．[必修1p44A组T5]已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．[解析]集合A表示抛物线y＝x2上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，抛物线y＝x2与直线y＝x相交于两点(0，0)，(1，1)，则A∩B中有两个元素．[答案]2易错提醒5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－60}，B＝{1，2，3，4}，则Venn图中阴影部分所表示的集合是()A．{1，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}[解析]由题意A＝{x|－2x3}，∁UA＝{x|x≤－2或x≥3}，∴阴影部分为(∁UA)∩B＝{3，4}．[答案]C6．已知集合P＝{2，3，4，5，6}，Q＝{3，4，5，7}，若M＝P∩Q，则M的子集个数为________．[解析]由题意可知，M＝{3，4，5}，故M的子集个数为23＝8.[答案]8【知识要点】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：_______、________、________．(2)元素与集合的关系是_____或_______，用符号____或____表示．(3)集合的表示法：_______、________、________．确定性互异性无序性不属于属于∈∉列举法描述法图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)_____________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中_____________集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集_______A⊆B(或B⊇A)AB(或BA)A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}【知识拓展】1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为____，真子集的个数为_______．2．A⊆B⇔A∩B＝____⇔A∪B＝____．3．A∩(∁UA)＝____；A∪(∁UA)＝____；∁U(∁UA)＝____．2n2n－1AB∅UA集合的基本概念例1(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0[解析]因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.[答案]B(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为__________．[解析]由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，故m＝－32.[答案]－32[小结](1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．1．(多选)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的值可以是()A．－1B．0C.12D．1[解析]当m＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，满足题意；当m≠0时，Δ＝4－4m2＝0，m＝±1.[答案]ABD2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是()A．9B．8C．7D．6[解析]当a＝0时，a＋b＝1，2，6；当a＝2时，a＋b＝3，4，8；当a＝5时，a＋b＝6，7，11.由集合中元素的互异性知，P＋Q中有1，2，3，4，6，7，8，11，共8个元素．[答案]B集合间的基本关系例2(1)(多选)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值可以为()A.13B．－13C.12D．0[解析]由题意知，A＝{2，－3}．当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝1a，由B⊆A，可得1a＝－3或1a＝2，∴a＝－13或a＝12.综上可知，a的值可以为－13或12或0.[答案]BCD(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1xm＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围是()A．[－1，2)B．[－1，3]C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞)[解析]由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；②当B≠∅时，有－3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1m＋1，解得－1≤m2.综上，m的取值范围是[－1，＋∞)．[答案]D[小结](1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝()A．1B．－1C．2D．－2[解析]因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，所以a≠0，a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.[答案]C4．已知集合A＝y|y＝x2－32x＋1，x∈34，2，B＝{x|x＋m2≥1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________．[解析]因为y＝x－342＋716，x∈34，2，所以y∈716，2.又因为A⊆B，所以1－m2≤716，解得m≥34或m≤－34.[答案]－∞，－34∪34，＋∞集合的基本运算例3(1)设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝________．[解析]由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．∴A∩(∁RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．[答案]{x|－3＜x≤－1}(2)已知集合P＝{y|y2－y－20}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2，3]，则a＋b＝()A．－5B．5C．－1D．1[解析]P＝{y|y2－y－20}＝{y|y2或y－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2，3]，得Q＝[－1，3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.[答案]A(3)设全集U＝{x|－2≤x5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{－1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{0，2}B．{3，4}C．{0，3，4}D．{－2，－1，0，1，2}[解析]阴影部分所表示的集合为A∩(∁UB)，集合A＝{0，2，3，4}，∁UB＝{－2，3，4}，则A∩(∁UB)＝{3，4}．故选B.[答案]B[小结](1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(3)进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要注意端点值的取舍．5．已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，则A∩B＝()A．(1，2)B．[1，2)C．(2，5]D．[2，5][解析]由x2－6x＋5≤0的解集为{x|1≤x≤5}，得A＝[1，5]．由x－20，解得x2，故B＝(2，＋∞)．把两个集合A，B在数轴上表示出来，如图，可知A∩B＝(2，5]．[答案]C6．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－10}，则A∪B＝()A．(－1，1)B．(0，1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)[解析]∵A＝{y|y0}，B＝{x|－1x1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.[答案]C[解析]由题意得：∁UM＝{1，2}，∁UN＝{3，4}，所以M∩N＝{5}，(∁UM)∩N＝{1，2}，M∩(∁UN)＝{3，4}，(∁UM)∩(∁UN)＝∅.[答案]AB7．(多选)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为()A．∁UMB．(∁UM)∩NC．M∩(∁UN)D．(∁UM)∩(∁UN)集合中的创新问题例4(1)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋100}，则A－B＝()A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，5}[解析]因为A＝{x∈N|0≤x≤5}，所以A＝{0，1，2，3，4，5}．解不等式x2－7x＋100，即(x－2)(x－5)0，得2x5.所以B＝(2，5)．因为A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，而3，4∈B，0，1，2，5∉B，所以A－B＝{0，1，2，5}，故选D.[答案]D(2)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝（x，y）y＝1x；②M＝{(x，y)|y＝log2x}；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是()A．①④B．②③C．③④D．②④[答案]C[解析]记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.