（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、复数 第30讲 复数课件 新人教A版

第30讲复数【课程要求】1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(4)原点是实轴与虚轴的交点．()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√教材改编2．[选修2－2p106B组T1]设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|等于()A．1B.2C.3D．2[解析]1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，z＝i－11＋i＝－（1－i）22＝i，∴|z|＝|i|＝1.[答案]A3．[选修2－2p112A组T2]在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i[解析]CA→＝CB→＋BA→＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.[答案]D4．[选修2－2p116A组T2]若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1[解析]∵z为纯虚数，∴x2－1＝0，x－1≠0，∴x＝－1.[答案]A易错提醒5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.[答案]C6．设i是虚数单位，若z＝cosθ＋isinθ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵z＝cosθ＋isinθ对应的点的坐标为(cosθ，sinθ)，且点(cosθ，sinθ)位于第二象限，∴cosθ0，sinθ0，∴θ为第二象限角，故选B.[答案]B7．已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i2019，则z＝________．[解析]z＝i＋i2＋i3＋…＋i2019＝i（1－i2019）1－i＝i－i20201－i，∴z＝i－11－i＝－1.[答案]－1【知识要点】1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和_______，若b≠0，则a＋bi为虚数，若___________，则a＋bi为纯虚数，i为虚数单位．(2)复数相等：复数a＋bi＝c＋di⇔___________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔__________________(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝_________．虚部a＝0，b≠0a＝c且b＝da＝c且d＝－ba2＋b22．复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝（ac＋bd）＋（bc－ad）ic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．3．两条性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)；(2)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.复数的有关概念例1(1)复数z＝3－ii＋2在复平面内对应的点位于第________象限．[解析]z＝3－ii＋2＝（3－i）（2－i）（i＋2）（2－i）＝5－5i5＝1－i，对应的点为(1，－1)，故对应的点位于第四象限．[答案]四(2)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·z|＝()A.10B．2C.2D．1[解析]依题意得(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝（－3）2＋12＝10.[答案]A(3)如果复数(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虚数单位)是纯虚数，则实数m＝________．[解析]由复数的运算法则可知(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i，因为复数(m2＋i)(1＋mi)是纯虚数，则m2－m＝0，m3＋1≠0，解得m＝0或1.[答案]0或1[小结]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．1．(多选)已知复数z＝13＋4i，则下列说法正确的是()A．复数z的实部为325B．复数z的共轭复数为325＋425iC．复数z部虚部为－425iD．复数z的模为15[解析]z＝13＋4i＝3－4i3＋4i3－4i＝3－4i25＝325－425i，则实部为325，虚部为－425，共轭复数为325＋425i，模为15.[答案]ABD复数的运算2(1)已知i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)，且满足z＝1－3iz＋1，则|z|＝()A.2B.3C.5D．3[解析]由题意，得z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i，所以a2－1＋a＝1，2a＋1＝－3，解得a＝－2，所以|z|＝|－2＋i|＝5.[答案]C(2)若复数z满足z1－i＝i2021，其中i为虚数单位，则z＝________．[解析]z＝i(1－i)＝1＋i，z＝1－i.[答案]1－i(3)计算：2＋2i（1－i）2·21＋i2020＝________．[解析]原式＝2＋2i－2i22i1010＝1＋i－i1i1010＝1－i.[答案]1－i[小结]复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．[提醒]在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2．复数z1＝1＋i，z2＝i，其中i为虚数单位，则z－1z2的虚部为()A．－1B．1C．iD．－i[解析]z1＝1－i，z1z2＝1－ii＝－1－i，虚部为－1，故选A.[答案]A复数的几何意义例3(1)复数1－i2－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]1－i2－i＝35－15i，所以其共轭复数为35＋15i，所以对应的点位于第一象限．[答案]A(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．[解析]由条件得OC→＝(3，－4)，OA→＝(－1，2)，OB→＝(1，－1)，根据OC→＝λOA→＋μOB→，得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.[答案]1(3)复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为________．[解析]在复平面内三点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是钝角得AB→·AC→0且B、A、C不共线，由(－3，－4)·(c－3，2c－10)0，解得c4911，其中当c＝9时，AC→＝(6，8)＝－2AB→，此时B，A，C三点共线，故c≠9.∴c的取值范围是c4911且c≠9.[答案]4911，9∪(9，＋∞)[小结]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．3．在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为()A．1＋2iB．1－2iC．－2＋iD．2＋i[解析]依题意得，复数z＝5i（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A(－2，1)对应的复数为－2＋i.[答案]C4．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()A．内心B．垂心C．重心D．外心[解析]由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．[答案]D1．(2019·全国卷Ⅰ理)设复数z满足z－i＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1[解析]由题可得z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，z－i＝x2＋（y－1）2＝1，则x2＋(y－1)2＝1.故选C.[答案]C2．(2018·全国卷Ⅰ理)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B.12C．1D.2[解析]法一：因为z＝1－i1＋i＋2i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1.法二：因为z＝1－i1＋i＋2i＝1－i＋2i（1＋i）1＋i＝－1＋i1＋i，所以|z|＝|－1＋i1＋i|＝|－1＋i||1＋i|＝22＝1.[答案]C3．(2018·全国卷Ⅱ理)1＋2i1－2i＝()A．－45－35iB．－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i[解析]1＋2i1－2i＝（1＋2i）25＝－3＋4i5.[答案]D4．(2018·北京理)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]11－i＝1＋i2＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，对应的点为12，－12，故选D.[答案]D考点集训(三十)第30讲复数A组题1．已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，zz＝－35＋45i，则a＝()A．2B．－2C．±2D．－12[解析]zz＝1－a2－2ai1＋a2＝－35＋45i，∴a＝－2.[答案]B2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B．－45C．4D.45[解析]因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z＝53－4i＝5（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝3＋4i5＝35＋45i，所以z的虚部为45.[答案]D3．已知a∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(a＋i)为纯虚数，则a