（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、复数 第26讲 平面向量的概念及线性运算课

[知识体系]1．平面向量2．复数第26讲平面向量的概念及线性运算【课程要求】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．()(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)×教材改编2．[必修4p86例4]已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝______，BC→＝________．(用a，b表示)[解析]如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.[答案]b－a；－a－b3．[必修4p108B组T5]在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为________．[解析]如图，因为AB→＋AD→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，所以|AC→|＝|DB→|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．[答案]矩形易错提醒4．(多选)已知m，n∈R，a，b是向量，则下列命题错误的是()A．m(a－b)＝ma－mbB．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，则a＝bD．若ma＝na，则m＝n[解析]由数乘向量的运算律知，数乘向量对数和向量都有分配律，所以A、B正确；当m＝0时，a，b不一定相等，当a＝0，m，n未必相等，所以C、D错误．[答案]CD5．设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－13e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－13D.13[解析]∵a＝e1＋λe2与b＝－13e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－13e2－e1＝t(e1＋λe2)，即－13e2－e1＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－13，即λ＝13.[答案]D6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析]DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(BA→＋AC→)＝－16AB→＋23AC→，∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.[答案]12【知识要点】1．向量的有关概念名称定义备注向量既有_____又有方向的量；向量的大小叫做向量的_____(或称___)平面向量是自由向量零向量长度为___的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于________的向量非零向量a的单位向量为±a|a|大小长度模01个单位名称定义备注平行向量方向____或____的非零向量0与任一向量____或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度____且方向____的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度____且方向____的向量0的相反向量为0相同相反平行相等相反相等相同2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算_________法则___________法则(1)交换律a＋b＝________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差________法则a－b＝a＋(－b)三角形b＋a平行四边形a＋(b＋c)三角形向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向______；当λ0时，λa的方向与a的方向______；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.相同相反3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．3.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.平面向量的概念例1给出下列结论：①两个单位向量是相等向量；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；④若a＝b，则a＝b；⑤若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，①错误；若a＝b，b＝c，则a＝c，向量相等具有传递性，②正确；一个向量的模为0，则该向量一定是零向量，方向不确定，③正确；若a＝b，则a＝b，还要方向相同才行，④错误；a与b共线，b与c共线，则a与c共线，当b为零向量时不成立，⑤错误．[答案]B[小结]向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反．(3)单位向量：长度是一个单位长度．(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等向量：方向相同且长度相等．1．设a0为单位向量．①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3[解析]向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案]D平面向量的线性运算例2(1)如图，△ABC中，CDDA＝AEEB＝12，记BC→＝a，CA→＝b，则DE→＝__________(用a和b表示)．[解析]DE→＝DC→＋CB→＋BE→＝－13b－a＋23(a＋b)＝13(b－a).[答案]13(b－a)(2)平面直角坐标系中，O为原点，A，B，C三点满足OC→＝34OA→＋14OB→，则BC→AC→＝()A．1B．2C．3D.32[解析]∵BC→＝OC→－OB→＝34OA→＋14OB→－OB→＝34BA→，AC→＝OC→－OA→＝34OA→＋14OB→－OA→＝14AB→，∴BC→AC→＝3.[答案]C(3)如图所示，下列结论正确的是()①PQ→＝32a＋32b;②PT→＝－32a－32b；③PS→＝32a－12b;④PR→＝32a＋b.A．①②B．③④C．①③D．②④[解析]由a＋b＝23PQ→，知PQ→＝32a＋32b，①正确；由PT→＝32a－32b，从而②错误；PS→＝PT→＋b，故PS→＝32a－12b，③正确；PR→＝PT→＋2b＝32a＋12b，④错误．综上，正确的为①③.[答案]C[小结]向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：①平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；②三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和)；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础．对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形，然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握．2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量AB→，AC→表示CE→为()A.29AB→＋89AC→B.29AB→－89AC→C.29AB→＋79AC→D.29AB→－79AC→[解析]由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE→＝AE→－AC→＝13AD→－AC→＝13(AB→＋13BC→)－AC→＝13AB→＋13（AC→－AB→）－AC→＝29AB→－89AC→.[答案]B共线向量定理的应用例3已知非零向量a和b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)若ka＋b和a＋kb共线，求实数k的值．[解析](1)因为AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，所以BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→，所以AB→与BD→共线．又AB→，BD→有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使得ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.因为a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.经检验，k＝±1均符合题意．[小结]利用平面向量基本定理进行点共线和向量共线的相关运算时，如果已知点共线，则很容易得到向量共线；如果已知向量共线来证明点共线，必须找到这两个向量的公共点．例4已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA→＋xOB→＋BC→＝0成立的实数x的取值集合为()A．{0}B．∅C．{－1}D．{0，－1}[解析]∵BC→＝OC→－OB→，∴x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，即OC→＝－x2OA→－(x－1)OB→，∵A，B，C三点共线，∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.当x＝0时，x2OA→＋xOB→＋BC→＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去．故x＝－1.故选C.[答案]C[小结]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB→＝λAC→，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．3．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D[解析]由AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，可得BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b＝2AB→，即BD→，AB→共线，所以A，B，D三点共线，故选A.[答案]A1．(2018·全国卷Ⅰ理)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→[解析]法一：如图所示，EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.法二：EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－12×12(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→.[答案]A2．(2015·全国卷Ⅱ理)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．[解析]因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则λ＝k，1＝2k，所以λ＝12.[答案]12考点集训(二十六)第26讲平面向量的概念及线