（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第四章 三角函数 第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式【课程要求】1．掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式．2．会应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式进行求值，化简，证明等．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)对任意角α都有1＋sinα＝sinα2＋cosα22.()(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.()(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×教材改编2．[必修4p127T2]若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4等于()A．－210B.210C．－7210D.7210[解析]∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－35，∴sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.[答案]C3．[必修4p147T2]已知cosα＋cosβ＝13，sinα＋sinβ＝12，则cos(α－β)＝________．[解析]因为(cosα＋cosβ)2＝cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝19，(sinα＋sinβ)2＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝14，两式相加得2＋2cos(α－β)＝1336，所以cos(α－β)＝－5972.[答案]－59724．[必修4p146T4]tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝________．[解析]∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝3.[答案]3易错提醒5．化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝________．[解析]原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝2.[答案]26．已知θ∈0，π2，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝________．[解析]法一：sinθ－π4＝210，得sinθ－cosθ＝15，①θ∈0，π2，①平方得2sinθcosθ＝2425，可求得sinθ＋cosθ＝75，∴sinθ＝45，cosθ＝35，∴tanθ＝43，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.法二：∵θ∈0，π2且sinθ－π4＝210，∴cosθ－π4＝7210，∴tanθ－π4＝17＝tanθ－11＋tanθ，∴tanθ＝43.故tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.[答案]－2477．已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，若α，β∈－π2，π2，则α＋β＝________．[解析]由题可得tanα＋tanβ＝－33，tanα·tanβ＝4，所以tanα0，tanβ0，因为α，β∈－π2，π2，所以α，β∈－π2，0，α＋β∈－π，0，因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，所以α＋β＝－2π3.[答案]－2π3【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝___________________；cos(α∓β)＝_______________________；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝_______________；cos2α＝____________＝___________＝____________；tan2α＝2tanα1－tan2α.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβ2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α3．公式的常用变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.三角函数公式的基本应用例1(1)若α∈π2，π，tanα＋π4＝17，则sinα等于()A.35B.45C．－35D．－45[解析](1)∵tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝17，∴tanα＝－34＝sinαcosα，∴cosα＝－43sinα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝925.又∵α∈π2，π，∴sinα＝35.[答案]A(2)已知α∈π2，π，sinα＝55，则cos5π6－2α的值为________．[解析]因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.[答案]－4＋3310[小结]观察分析角和三角函数名称之间的关系，实现非特殊角向特殊角的转化是求解此类题的关键．(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．1．计算sin47°－sin17°cos30°cos17°的值等于__________．[解析]由sin47°＝sin30°＋17°＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°知，原式＝sin30°cos17°cos17°＝12.[答案]12三角函数公式的逆用与变形用例2(1)设a＝12cos2°－32sin2°，b＝2tan14°1－tan214°，c＝1－cos50°2，则有()A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b[解析]由题意可知，a＝sin28°，b＝tan28°，c＝sin25°，∴c＜a＜b.[答案]D(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22B.22C.12D．－12[解析]由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.[答案]B[小结](1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．2．化简sin235°－12cos10°cos80°＝__________．[解析]sin235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.[答案]－1三角函数公式的综合应用例3已知函数f(α)＝sinα(cosα－3sinα)＋32.(1)化简f(α)；(2)若α∈－π2，0，fα2＋π3＝55，求f(α)的值．[解析](1)f(α)＝sinαcosα－3sin2α＋32＝12sin2α－3×1－cos2α2＋32＝12sin2α＋32cos2α＝sin2α＋π3.(2)∵fα2＋π3＝－sinα＝55，∴sinα＝－55，∵α∈－π2，0，∴cosα＝255.∴sin2α＝2sinαcosα＝－45，cos2α＝2cos2α－1＝35，∴f(α)＝12sin2α＋32cos2α＝33－410.3．已知sinx－2021π＝13，x∈π，3π2，则tan2x等于()A.24B．－24C.427D．42[解析]因为sin(x－2021π)＝13，所以sinx＝－13，又x∈π，3π2，所以cosx＝－223，所以tanx＝24，所以tan2x＝2×241－242＝427，故选C.[答案]C1．(2019·全国卷Ⅱ理)已知a∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C．33D.255[解析]∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sinα·cosα＝2cos2α.∵α∈0，π2，∴cosα0，sinα0，∴2sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝15，又sinα0，∴sinα＝55，故选B.[答案]B2．(2018·全国卷Ⅱ理)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝__________．[解析]因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，∴sinα＝12，cosβ＝12，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12×12－cos2α＝14－1＋sin2α＝14－1＋14＝－12.[答案]－123．(2019·江苏)已知tanαtanα＋π4＝－23，则sin2α＋π4的值是__________．[解析]由tanαtanα＋π4＝tanαtanα＋11－tanα＝tanα（1－tanα）tanα＋1＝－23，得3tan2α－5tanα－2＝0，解得tanα＝2，或tanα＝－13.sin2α＋π4＝sin2αcosπ4＋cos2αsinπ4＝22sin2α＋cos2α＝222sinαcosα＋cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝222tanα＋1－tan2αtan2α＋1，当tanα＝2时，上式＝22×2×2＋1－2222＋1＝210；当tanα＝－13时，上式＝22×2×－13＋1－－132－132＋1＝210.综上，sin2α＋π4＝210.[答案]210考点集训(二十)第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式A组题1．计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为()A.12B.33C.22D.32[解析]－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.[答案]A2．已知α∈π2，π，cosα＝－45，则tanα＋π4＝()A.17B．7C．－17D．－7[解析]∵α∈π2，π，cosα＝－45，∴sinα＝35，∴tanα＝－34，∴tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝－34＋11＋34＝17.[答案]A3．已知sinπ4－αsinπ4＋α＝－310，则cos2α＝()A．－35B.35C．－310D.310[解析]sinπ4－αsinπ4＋α＝12cos2α－sin2α＝－310，cos2α＝－35.[答案]A4．已知α，β∈3