（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第七章 不等式 第39讲 基本（均值）不等式课件 新人教A版

第39讲基本(均值)不等式【课程要求】1．了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4.()(3)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．()(4)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a.()(5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件．()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√教材改编2．[必修5p99例1(2)]设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82[解析]∵x0，y0，∴x＋y2≥xy，即xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.[答案]C3．[必修5p100A组T2]若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.[解析]设矩形的一边为xm，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，∴y＝x(10－x)≤x＋（10－x）22＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.[答案]25易错提醒4．若x0，则x＋1x()A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2[解析]因为x0，所以－x0，－x＋1－x≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.[答案]D5．已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23[解析]∵0x1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋（1－x）22＝34.当且仅当x＝1－x，即x＝12时，“＝”成立．[答案]B6．设x0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为()A．0B.12C．1D.32[解析]y＝x＋22x＋1－32＝x＋12＋1x＋12－2≥2x＋12·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋12＝1x＋12，即x＝12时等号成立．∴函数的最小值为0.故选A.[答案]A【知识要点】1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：__________．(2)等号成立的条件：当且仅当_______．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥______(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥_____(a，b同号)；(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)；(4)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．a0，b0a＝b2ab23．算术平均数与几何平均数设a＞0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：_____________________________________________．4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是q24(简记：和定积最大)．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数利用基本(均值)不等式求最值一、拼凑法求最值例1(1)设0x32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．[解析]y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋（3－2x）22＝92，当且仅当“2x＝3－2x，即x＝34”时，等号成立．∵34∈0，32，∴函数y＝4x(3－2x)0x32的最大值为92.[答案]92(2)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋9x＋4的最小值为________．[解析]∵x＞－4，∴x＋4＞0，∴f(x)＝x＋9x＋4＝x＋4＋9x＋4－4≥2（x＋4）·9x＋4－4＝2，当且仅当x＋4＝9x＋4，即x＝－1时取等号．故f(x)＝x＋9x＋4的最小值为2.[答案]2[小结]1.拼凑法求最值拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2．拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．1．若对∀x≥1，不等式x＋1x＋1－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是__________．[解析]因为函数f(x)＝x＋1x－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋1x＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝12，因此对∀x≥1，不等式x＋1x＋1－1≥a恒成立，所以a≤g(x)min＝12，故实数a的取值范围是－∞，12.[答案]－∞，12二、常数代换法求最值例2若直线2mx－ny－2＝0(m0，n0)过点(1，－2)，则1m＋2n的最小值为()A．2B．6C．12D．3＋22[解析]因为直线2mx－ny－2＝0(m0，n0)过点(1，－2)，所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，所以1m＋2n＝1m＋2n(m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋22，当且仅当“nm＝2mn，即n＝2m”时取等号，所以1m＋2n的最小值为3＋22，故选D.[答案]D[小结]1.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．2．常数代换法求解最值应注意的问题(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．2．已知正数x，y满足x＋2y－x＝0，则x＋2y的最小值为________．[解析]由x＋2y－xy＝0，得2x＋1y＝1，且x0，y0.∴x＋2y＝(x＋2y)×2x＋1y＝4yx＋xy＋4≥4＋4＝8，当且仅当x＝2y时等号成立．[答案]8三、消元法求最值例3若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是()A.223B.23C.33D.233[解析]因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝1－x26x.由x0，y0，即x0，1－x26x0，解得0x1.所以x＋2y＝x＋1－x23x＝2x3＋13x≥22x3·13x＝223，当且仅当2x3＝13x，即x＝22，y＝212时取等号．故x＋2y的最小值为223.[答案]A[小结]通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．基本(均值)不等式与函数的综合问题例4某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？[解析](1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由15－0.1x0，x0，得0＜x＜150.设单套丛书的利润为P元，则P＝x－30＋1015－0.1x＝x－100150－x－30，因为0＜x＜150，所以150－x＞0，所以P＝－150－x＋100150－x＋120，又(150－x)＋100150－x≥2150－x·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x＝100150－x，即x＝140时等号成立，所以Pmax＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．[小结]利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．3．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．[解析]一年的总运费为6×600x＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x万元．总运费与总存储费用的和为3600x＋4x万元．因为3600x＋4x≥23600x·4x＝240，当且仅当3600x＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．[答案]30基本(均值)不等式的综合应用一、求参数值或取值范围例5当0m12时，若1m＋21－2m≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围是()A．[－2，0)∪(0，4]B．[－4，0)∪(0，2]C．[－4，2]D．[－2，4][解析]因为0m12，所以12×2m×(1－2m)≤12×2m＋（1－2m）22＝18，当且仅当2m＝1－2m，即m＝14时取等号，所以1m＋21－2m＝1m（1－2m）≥8，又1m＋21－2m≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2，4]．故选D.[答案]D二、基本不等式与其他知识交汇的最值问题例6设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2021＝4042，则1a9＋9a2013的最小值为________．[解析]由等差数列的前n项和公式，得S2021＝2021（a1＋a2021）2＝4042，则a1＋a2021＝4.由等差数列的性质得a9＋a2013＝4，所以1a9＋9a2013＝144a9＋9×4a2013＝14a9＋a2013a9＋9（a9＋a2013）a2013＝14a2013a9＋9a9a2013＋10≥142a2013a9×9a9a2013＋10＝4，当且仅当a2013＝3a9时等号成立，故所求最小值为4.[答案]4[小结](1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．4．已知函数f(x)＝x＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A.12B.32C．1D．2[解析]由题意可得a0，①当x0时，f(x)＝x＋ax＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号；②当x0时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等号，所以2－2a＝0，2a＋2＝4，解得a＝1，故选C.[答案]C5．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an