（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第七章 不等式 第37讲 简单不等式及其解法课件 新人教A版

第37讲简单不等式及其解法【课程要求】1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．3．熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×(5)√教材改编2．[必修5p80A组T4]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝x|4－xx＋1≤0，那么集合A∩(∁UB)等于()A．[－2，4)B．(－1，3]C．[－2，－1]D．[－1，3][解析]因为A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－1或x≥4}，故∁UB＝{x|－1≤x4}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D.[答案]D3．[必修5p80A组T2]函数y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．[解析]由题意，得3x2－2x－20，令3x2－2x－2＝0，得x1＝1－73，x2＝1＋73，∴3x2－2x－20的解集为－∞，1－73∪1＋73，＋∞.[答案]－∞，1－73∪1＋73，＋∞易错提醒4．若关于x的不等式ax2＋bx＋20的解集是－12，13，则a＋b＝________．[解析]∵x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴a4－b2＋2＝0，a9＋b3＋2＝0，解得a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.[答案]－145．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是____________．[解析]当a2－4＝0时，a＝±2.若a＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若a＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a≠±2时，要使不等式的解集为空集，则a2－40，（a＋2）2＋4（a2－4）0，解得－2a65.综上，实数a的取值范围为－2，65.[答案]－2，65【知识要点】1．一元一次不等式一元一次不等式axb(a≠0)的解集为：(1)a0时，____________；(2)a0时，____________．x∈xxbax∈xxba2．一元二次不等式(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c≤0(a0)的解集的各种情况如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c0(a0)的解集________________{x|x≠－b2a_____ax2＋bx＋c≤0(a0)的解集________________________∅{x|xx1或xx2}R{x|x1≤x≤x2}－b2a(2)常用结论(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法不等式解集aba＝bab(x－a)·(x－b)0{x|xa或xb}{x|x≠a}{x|xb或xa}(x－a)·(x－b)0{x|axb}∅{x|bxa}口诀：大于取两边，小于取中间．3．分式不等式(1)f（x）g（x）0(0)⇔f(x)·g(x)0(0)．(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．4．简单指数不等式不等式af(x)ag(x)(1)当a1时，等价于__________；(2)当0a1时，等价于___________．5．简单对数不等式不等式logaf(x)logag(x)(1)当a1时，等价于_______________；(2)当0a1时，等价于________________．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0g(x)f(x)0一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4.[解析](1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤43，所以原不等式的解集为x|－2≤x≤43.(2)原不等式等价于x2－x－2＞0，x2－x－2≤4，⇔x2－x－2＞0，x2－x－6≤0，⇔（x－2）（x＋1）＞0，（x－3）（x＋2）≤0，⇔x＞2或x＜－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．[小结]解一元二次不等式的四个步骤：(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如例1中(1)小题；(2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．1．求不等式－2x2＋x＋30的解集．[解析]化－2x2＋x＋30为2x2－x－30，解方程2x2－x－3＝0，得x1＝－1，x2＝32，∴不等式2x2－x－30的解集为(－∞，－1)∪32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪32，＋∞.简单指数、对数及分式不等式的解法例2(1)不等式3x2x＋1≤1的解集为()A.－∞，1B.－12，1C.－12，1D.－∞，－12∪1，＋∞[解析]由题可知：3x2x＋1－1≤0,3x－2x－12x＋1≤0⇒（x－1）（2x＋1）≤0，2x＋1≠0⇒－12x≤1.[答案]C(2)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≥1，21－x－2，x1，则不等式f(x－1)≤0的解集为()A.x|0≤x≤2B.x|0≤x≤3C.x|1≤x≤2D.x|1≤x≤3[解析]由题意，得f(x－1)＝2x－2－2，x≥2，22－x－2，x2.当x≥2时，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；当x2时，由22－x－2≤0，解得1≤x2.综上所述，不等式f(x－1)≤0的解集为x|1≤x≤3.[答案]D(3)已知f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，且当x＜0时，ax＞1，则f1－1x＞1的解集是________．[解析]∵x＜0时，ax＞1，∴0＜a＜1.f1－1x＞1⇔loga1－1x＞logaa⇔1－1x＞0，1－1x＜a，⇔1x＜1，1x＞1－a，⇔1－a＜1x＜1⇔1＜x＜11－a.[答案]1，11－a[小结]应用指数函数、对数函数的单调性解有关指数、对数不等式问题，在高考中也时有出现，其题型特征是以函数为载体，将问题转化为简单指数、对数不等式求解．2．不等式2x＋1x－5≥－1解集是__________．[解析]将原不等式移项通分得3x－4x－5≥0，等价于（3x－4）（x－5）≥0，x－5≠0，解得x＞5或x≤43.所以原不等式的解集为x|x≤43或x5.[答案]x|x≤43或x53．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)0的解集为x|x12或x3，则f(ex)0(e是自然对数的底数)的解集是__________．[解析]依题意可得f(x)＝ax－12(x－3)(a0)，则f(ex)＝aex－12(ex－3)(a0)，由f(ex)＝aex－12(ex－3)0，可得12ex3，解得－ln2xln3.[答案]{x|－ln2xln3}含参一元二次不等式的解法例3解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．[解析]原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0，解得x≥2a或x≤－1.③当a0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.当2a－1，即a－2时，解得－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当2a－1，即－2a0时，解得2a≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a0时，不等式的解集为x|x≥2a或x≤－1；当－2a0时，不等式的解集为x|2a≤x≤－1；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a－2时，不等式的解集为x|－1≤x≤2a.[小结]含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．4．解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．[解析]原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，因为a＞0，所以ax－1a(x－1)＜0.所以当a＞1，即1a1时，解为1a＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1，即1a1时，解为1＜x＜1a.综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为x|1＜x＜1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为x|1a＜x＜1.含参不等式恒成立问题角度一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围例4已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析]要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，1－2x＜0，则x＞12，不满足题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且关于x的方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即m＜0，Δ＝4－4m（1－m）＜0，不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知，不存在这样的实数m使不等式恒成立．角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围例5设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．[解析]要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即mx－122＋34m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜67，则0＜m＜67；当m＜0