（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第六章 数列 第33讲 等比数列及其前n项和课件 新人教A版

第33讲等比数列及其前n项和【课程要求】1．掌握等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．2．掌握等比数列的判断方法．3．掌握等比数列求和的方法．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a（1－an）1－a.()(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×教材改编2．[必修5p51例3]已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝______．[解析]由题意知q3＝a5a2＝18，∴q＝12.[答案]123．[必修5p54A组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数的和为________．[解析]设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.所以这两个数的和为108.[答案]108易错提醒4．已知1，a，b，c，4成等比数列，其中a，b，c为实数，则b＝________．[解析]∵1，a，b，c，4成等比数列，设其公比为q，则b2＝1×4＝4，且b＝1×q20，∴b＝2，[答案]25．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210KB)．[解析]由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，则2n＝64×210＝216，∴n＝16.即病毒共复制了16次．∴所需时间为16×3＝48(分钟)．[答案]48【知识要点】1．等比数列的定义一般地，如果一个数列_____________________________________________________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_______，通常用字母____表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝_______(n∈N*)．3．等比中项若_________________，那么G叫做a与b的等比中项．从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数公比qa1·qn－1G2＝a·b(ab≠0)4．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.5．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·_____(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则____________．(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(4)等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为_____．qn－mak·al＝am·anqn等比数列基本量的运算例1(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Snan＝________．[解析]∵a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，∴a1＋a1q2＝52，①a1q＋a1q3＝54，②由①除以②可得1＋q2q＋q3＝2，解得q＝12，代入①得a1＝2，∴an＝2×12n－1＝42n，∴Sn＝2×1－12n1－12＝41－12n，∴Snan＝41－12n42n＝2n－1.[答案]2n－1(2)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．－7B．－5C．7D．5[解析]由题得a4a7＝－8，∵a4＋a7＝2，∴a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，即a1q3＝4，a1q6＝－2或a1q3＝－2，a1q6＝4，∴a1＝－8，q3＝－12或a1＝1，q3＝－2，所以a1＋a10＝－8＋(－8)－123＝－7或a1＋a10＝1＋(－2)3＝－7.[答案]A[小结]1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．等比数列求和公式中，用Sn＝a1（1－qn）1－q时，注意前提是q≠1.1．已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()A．2B．1C.12D.18[解析]由{an}为等比数列，得a3a5＝a24，又a3a5＝4(a4－1)，所以a24＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝14q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝12.故选C.[答案]C等比数列的性质例2(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，则a8a9＝________[解析]由等比数列的性质得a28＝a5a11＝4，a29＝a6a12＝8，因为数列的各项均为正，所以a8＝2，a9＝22，所以a8a9＝42.[答案]42(2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于()A．40B．60C．32D．50[解析]由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B.[答案]B[小结](1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(q≠－1)．2．已知等比数列{an}，且a6＋a8＝4，则a8(a4＋2a6＋a8)的值为()A．2B．4C．8D．16[解析]∵a6＋a8＝4，∴a8(a4＋2a6＋a8)＝a8a4＋2a8a6＋a28＝(a6＋a8)2＝16.故选D.[答案]D等比数列的判定与证明例3已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列．[解析](1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．所以对任意实数λ，{an}不是等比数列．(2)bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋123an－2n＋14＝－23(－1)n·(an－3n＋21)＝－23bn.又λ≠－18，所以b1＝－(λ＋18)≠0.由上式知bn≠0，所以bn＋1bn＝－23(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．[小结]等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．其中，(1)，(2)是判定等比数列的常用方法，常用于证明，(3)，(4)常用于选择题、填空题中的判定．若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．3．(2016·全国卷Ⅲ理)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.[解析](1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1.(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n.由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.解得λ＝－1.等比数列前n项和的最值问题例4在等比数列an中，an0n∈N*，公比q∈0，1，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列bn的前n项和为Sn，当S11＋S22＋…＋Snn最大时，求n的值．[解析](1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，又an0n∈N*，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4，而q∈0，1，∴a3a5，a3＝4，a5＝1，∴q＝12，a1＝16，∴an＝16×12n－1，即an＝25－n.(2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1.∴bn是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝n9－n2，∴Snn＝9－n2，∴当n≤8时，Snn0；当n＝9时，Snn＝0；当n9时，Snn0.∴当n＝8或9时，S11＋S22＋…＋Snn最大．4．已知数列an满足a1＝13，3an＋1＋an－4＝0，Sn为其前n项和，则使不等式|Sn－n－9|11000成立的n的最大值为()A．7B．8C．9D．10[解析]由3an＋1＋an－4＝0可得3an＋1－1＋an－1＝0，即an＋1－1an－1＝－13，所以数列an－1是等比数列，又a1＝13，所以a1－1＝12，故Sn－n－9＝a1－1＋a2－1＋…＋an－1－9＝121－－13n1－－13－9＝9－13n11000，解得1≤n≤8(n∈N*)，所以n的最大值为8.选B.[答案]B1．(2019·全国卷Ⅲ理)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2[解析]设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，则a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，a1q4＝3a1q2＋4a1，解得a1＝1，q＝2，∴a3＝a1q2＝4，故选C.[答案]C2．(2018·全国卷Ⅲ理)等比数列{an}中，a1＝