（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第六章 数列 第32讲 等差数列及其前n项和课件 新人教A版

第32讲等差数列及其前n项和【课程要求】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法．3．掌握等差数列求和的方法．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(5)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√教材改编2．[必修5p46A组T2]设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A．31B．32C．33D．34[解析]由已知可得a1＋5d＝2，5a1＋10d＝30，解得a1＝263，d＝－43，∴S8＝8a1＋8×72d＝32.[答案]B3．[必修5p39T5]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a1＋a9＝________．[解析]由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a1＋a9＝2a5＝180.[答案]180易错提醒4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()A．d875B．d325C.875d325D.875d≤325[解析]由题意可得a101，a9≤1，即125＋9d1，125＋8d≤1，所以875d≤325.故选D.[答案]D5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．[解析]因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．[答案]86．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，则该数列的通项为()A．an＝1nB．an＝2n＋1C．an＝2n＋2D．an＝3n[解析]由2an＋1＝1an＋1an＋2可得1an＋1－1an＝1an＋2－1an＋1，知1an是首项为1a1＝1，公差为1a2－1a1＝2－1＝1的等差数列，所以1an＝n，即an＝1n.[答案]A【知识要点】1．等差数列的定义一般地，如果一个数列____________________________________________________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母____表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是_________________(n∈N*)．3．等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项．从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数公差dan＝a1＋(n－1)d5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝n（a1＋an）2或Sn＝na1＋n（n－1）2d(n∈N*)．6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n(n∈N*)．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数，n∈N*)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，若a10，d0，则Sn存在最____值；若a10，d0，则Sn存在最____值．大小等差数列基本量的计算例1(1)(2017·全国卷Ⅰ理)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8[解析]设{an}的公差为d，由a4＋a5＝24，S6＝48，得（a1＋3d）＋（a1＋4d）＝24，6a1＋6×52d＝48，解得d＝4.故选C.[答案]C(2)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是()A．5B．4C．3D．2[解析]写出数列的第1、3、5、7、9项的和，写出数列的第2、4、6、8、10项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．由此得5a1＋20d＝15，5a1＋25d＝30，解得d＝3.[答案]C[小结]等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．1．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________．[解析]a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，Sk＝k＋k（k－1）2×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.[答案]3等差数列的性质及应用例2(1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝()A．18B．99C．198D．297[解析]因为a3＋a9＝27－a6，2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.[答案]B(2)已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________．[解析]法一：设数列{an}的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.法二：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.所以5＋2D＝10，所以D＝52.所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.[答案]20(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2017，S20172017－S20112011＝6，则S2021＝________．[解析]由等差数列的性质可得Snn也为等差数列．设其公差为d，则S20172017－S20112011＝6d＝6，∴d＝1.故S20212021＝S11＋2020d＝－2017＋2020＝3，∴S2021＝3×2021＝6063.[答案]6063[小结]等差数列的常用性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.2．已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________．[解析]因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.[答案]213．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝3n－22n＋1，则a7b7等于()A.3727B.1914C.3929D.43[解析]a7b7＝2a72b7＝a1＋a13b1＋b13＝a1＋a132×13b1＋b132×13＝S13T13＝3×13－22×13＋1＝3727.[答案]A等差数列的判定与证明例3若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解析](1)当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，∴1Sn－1Sn－1＝2，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得1Sn＝2n，∴Sn＝12n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12（n－1）＝n－1－n2n（n－1）＝－12n（n－1）.当n＝1时，a1＝12不适合上式．故an＝12，n＝1，－12n（n－1），n≥2.[小结]等差数列的判定与证明方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．4．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)证明：数列ann是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解析](1)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，得nan＋1－（n＋1）ann（n＋1）＝2，即an＋1n＋1－ann＝2，所以数列ann是首项a11＝1，公差d＝2的等差数列．(2)由(1)知ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.等差数列前n项和的最值问题例4设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a2n和an的等差中项．(1)求证：数列{an}为等差数列；(2)设数列{bn}满足bn＝(－1)n＋1anan＋1，且数列{bn}前n项和为Tn，若Tn≥tn2，对n∈N*恒成立，求实数t取值范围．[解析](1)由已知可得2Sn＝a2n＋an，且an0，当n＝1时，2a1＝a21＋a1，解得a1＝1.当n≥2时，有2Sn－1＝a2n－1＋an－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝a2n－a2n－1＋an－an－1，所以a2n－a2n－1＝an＋an－1，即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1，因为an＋an－10，所以an－an－1＝1(n≥2)．故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可知bn＝－1n＋1nn＋1.当n为偶数时，Tn＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋bn－1＋bn＝－4×1＋2＋3＋…＋n2＝－12n(n＋2)≥tn2，即t≤－121＋2n对任意偶数都成立，∴t≤－1；同理当n为奇数时，Sn＝－12n＋1n＋3＋n＋1n＋2＝12(n＋1)20，对t≤－1时，Sn≥tn2恒成立，综上：t≤－1.[小结]等差数列前n项和Sn＝An2＋Bn，可以从二次函数的角度求最值，对于含有(－1)n结构的数列问题一般要进行奇偶性讨论．5．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．[解析]∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，∴d＝－53.法一：由an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋653，得a13＝0.即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0.∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋12×112×－53＝130.法二：Sn＝20n＋n（n－1）2·－53＝－56n2＋1256n＝－56n－2522＋312524.∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0