（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第12讲 函数与方程课件 新人教A版

第12讲函数与方程【课程要求】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x)．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√教材改编2．[必修1p92A组T5]函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1，2)B．(2，3)C.1e，1和(3，4)D．(4，＋∞)[解析]∵f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln3－230，且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，∴f(x)的零点在区间(2，3)内．[答案]B3．[必修1p88例1]函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．[解析]由已知得f′(x)＝ex＋30，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－30，f(0)＝10，因此函数f(x)有且只有一个零点．[答案]14．[必修1p92A组T4]函数f(x)＝x12－12x的零点个数为____________．[解析]作函数y1＝x12和y2＝12x的图象如图所示，由图象知函数f(x)有1个零点．[答案]1易错提醒5．(多选)下列图象表示的函数中不能．．用二分法求零点的是()[解析]A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续，因此不能用二分法求零点；D中函数在x轴下方没有图象，因此不能用二分法求零点，故选ABD.[答案]ABD6．已知函数f(x)＝x－x(x0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零点分别为x1，x2，x3，则()A．x1x2x3B．x2x1x3C．x2x3x1D．x3x1x2[解析]作出y＝x与y1＝x，y2＝－ex，y3＝－lnx的图象如图所示，可知选C.[答案]C【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有______．(3)函数零点的判定(函数存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间_______内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_________，这个____也就是方程f(x)＝0的根．f(x)＝0零点连续不断f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c2．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点___________________无交点零点个数____________(x1,0),(x2,0)(x1,0)210函数零点区间的判定和求解例1(1)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)在区间0，1上有__________个零点．[解析]当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0∈0，1；所以函数f(x)在区间[0，1]上只有1个零点．[答案]1(2)若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)[解析]∵abc，∴f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.[答案]A[小结]函数零点的判定方法：(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．1．若x0是方程12x＝x13的解，则x0属于区间()A.23，1B.12，23C.13，12D.0，13[解析]令g(x)＝12x，f(x)＝x13，则g(0)＝1＞f(0)＝0，g12＝1212＜f12＝1213，g13＝1213＞f13＝1313，结合图象可得13＜x0＜12.[答案]C2．已知函数f(x)＝x＋1，x≤0，log2x，x0，则函数y＝f(f(x))＋1在区间0，＋∞上的零点的个数是()A．4B．3C．2D．1[解析]由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1，由f(－2)＝f12＝－1，得f(x)＝－2或f(x)＝12.若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝14；若f(x)＝12，则x＝－12或x＝2.综上可得函数y＝f(f(x))＋1在区间0，＋∞上的零点的个数是2，故选C.[答案]C函数零点个数的判断和求解例2(1)已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，（x－2）2，x2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A．2B．3C．4D．5[解析]由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝|x－2|＋1，x≥0，3－x2，x＜0.函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．由图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2，故选A.[答案]A(2)函数f(x)＝4cos2x2·cosπ2－x－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为____________．[解析]f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x－1，函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin2x(x－1)与y2＝|ln(x＋1)|(x－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．[答案]2[小结]判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．3．函数y＝(x－1)2－logax(其中a1)零点的个数是()A．0B．1C．2D．3[解析]函数y＝(x－1)2－logax(其中a1)零点的个数就是y＝(x－1)2的图象与y＝logax(其中a1)图象交点个数，在同一坐标系内画出y＝(x－1)2的图象与y＝logax(其中a1)图象，如图，由图可知，y＝(x－1)2的图象与y＝logax(其中a1)图象有两个交点，所以函数y＝(x－1)2－logax(其中a1)零点的个数是2.[答案]C4．已知a1，方程ex＋x－a＝0与lnx＋x－a＝0的根分别为x1，x2，若m＝x21＋x22＋2x1x2，则m的取值范围为________．[解析]方程ex＋x－a＝0的根，即y＝ex与y＝a－x图象交点的横坐标，方程lnx＋x－a＝0的根，即y＝lnx与y＝a－x图象交点的横坐标，而y＝ex与y＝lnx的图象关于直线y＝x轴对称，如图所示：∴x1＋x2＝a，∴x21＋x22＋2x1x2＝x1＋x22＝a2，又a1，∴m＝x21＋x22＋2x1x21.[答案](1，＋∞)二次函数的零点问题例3(1)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是______________．[解析]依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足m≠2，f（－1）·f（0）0，f（1）·f（2）0，即m≠2，[m－2－m＋（2m＋1）]（2m＋1）0，[m－2＋m＋（2m＋1）][4（m－2）＋2m＋（2m＋1）]0，解得14m12.[答案]14，12(2)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A．a＞c＞b＞dB．a＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d[解析]f(x)＝2021－(x－a)·(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2021，又f(a)＝f(b)＝2021，c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知c＞a＞b＞d，故选D.[答案]D[小结]解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．5．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，若y＝f(x)在区间(－1，0)及0，12内各有一个零点，则实数a的取值范围是____________．[解析]依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及0，12内各有一个零点，只需f（－1）＞0，f（0）＜0，f12＞0，即3－4a＞0，1－2a＜0，34－a＞0，解得12＜a＜34.故实数a的取值范围为12，34.[答案]12，346．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是__________．[解析]设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.所以f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x＜0.方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，故a的取值范围为(－1，1)．[答案](－1，1)函数零点的应用例4(1)(多选)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3