（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第8讲 二次函数与幂函数课件 新人教A版

第8讲二次函数与幂函数【课程要求】1．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；会求二次函数的值域与最值．2．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式“三个二次”之间的联系去解决有关问题．3．了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象和性质解决有关问题．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．()(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()(4)函数y＝2x12是幂函数．()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(6)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×教材改编2．[必修1p79T1]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α等于()A.12B．1C.32D．2[解析]由幂函数的定义，知k＝1，22＝k·12α.∴k＝1，α＝12.∴k＋α＝32.[答案]C3．[必修1p44A组T9]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是()A．a≥3B．a≤3C．a＜－3D．a≤－3[解析]函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.[答案]D易错提醒4．幂函数f(x)＝21023aax(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于()A．3B．4C．5D．6[解析]因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝252ax(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a－5)2－20，从而a＝4，5，6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.[答案]C5．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)[解析]函数f(x)＝x2－2ax－3为对称轴x＝a开口向上的二次函数，∵在区间[1，2]上单调递增，∴区间[1，2]在对称轴x＝a的右边，即a≤1，∴实数a的取值范围是(－∞，1]．[答案]B6．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a1)的定义域和值域都为[1，a]，则b＝________．[解析]函数f(x)＝x2－2ax＋b(a＞1)的对称轴方程为x＝－－2a2＝a1，所以函数f(x)＝x2－2ax＋b在[1，a]上为减函数，又函数在[1，a]上的值域也为[1，a]，则f（1）＝a，f（a）＝1，即1－2a＋b＝a，①a2－2a2＋b＝1，②由①得：b＝3a－1，代入②得：a2－3a＋2＝0，解得：a＝1(舍)，a＝2.把a＝2代入b＝3a－1得b＝5.[答案]5【知识要点】1．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝12xy＝x－1图象定义域RRR____________________值域R________R____________________奇偶性____________________________单调性__________________________________________________公共点________{y|y≥0}{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶非奇非偶奇增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减(1，1)奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝__________________．②顶点式：f(x)＝____________________．③零点式：f(x)＝______________________．ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－h)2＋k(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减；在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a上单调递增；在x∈－b2a，＋∞上单调递减奇偶性当_______时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点－b2a，4ac－b24a对称性函数的图象关于x＝－b2a对称b＝03.二次函数在闭区间上的最值若a＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在闭区间[p，q]上的最大值为M，最小值为N.令x0＝12(p＋q)，①若－b2ap，则M＝f(q)，N＝____；②若－b2aq，则M＝f(p)，N＝____；③若p≤－b2a≤x0，则M＝f(q)，N＝______；④若x0－b2a≤q，则M＝f(p)，N＝f－b2a.f(p)f(q)f－b2a4．根与系数的关系二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1，0)，M2(x2，0)，这里的x1，x2是方程f(x)＝0的两根，且x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca，|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|.幂函数的图象与性质例1(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞bD．a＞b＞d＞c[解析]由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d，故选B.[答案]B(2)若(2m＋1)12(m2＋m－1)12，则实数m的取值范围是()A.－∞，－5－12B.5－12，＋∞C．(－1，2)D.5－12，2[解析]因为函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于2m＋1≥0，m2＋m－1≥0，2m＋1m2＋m－1.解2m＋1≥0，得m≥－12；解m2＋m－1≥0，得m≤－5－12或m≥5－12.解2m＋1m2＋m－1，得－1m2，综上所述，5－12≤m2.[答案]D[小结](1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．1．当α∈－1，12，3时，幂函数y＝xα的图象不可能经过的象限是()A．第二象限B．第三象限C．第四象限D．第二、四象限[解析]y＝x－1的图象经过第一、三象限，y＝x12的图象经过第一象限，y＝x3的图象经过第一、三象限．故选D.[答案]D2．函数f(x)＝(m2－m－1)23mmx是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足f（x1）－f（x2）x1－x20，若a，b∈R，且a＋b0，ab0，则f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断[答案]A[解析]由已知函数f(x)＝(m2－m－1)23mmx是幂函数，可得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3，当m＝－1时，f(x)＝x－3，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，函数是单调增函数，所以m＝2，此时f(x)＝x3，又a＋b0，ab0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则f(a)＋f(b)恒大于0.二次函数的解析式的求法例2(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为____________________．[解析]由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b2＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.[答案]f(x)＝x2－2x＋3(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)，且有最小值－1，则f(x)＝____________．[解析]设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由4a×0－4a24a＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.[答案]x2＋2x[小结]求二次函数解析式的方法3．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝____________．[解析]由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴－a＝－－2ab，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.[答案]－2x2＋44．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解析]法一：(利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用二次函数的顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.∴m＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用两根式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.二次函数的图象与性质例3(1)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()[解析]若a0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a0，b0，从而－b2a0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.[答案]C(2)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关[解析]f(x)＝x＋a22－a24＋b，①当0≤－a2≤1时，f(x)min＝m＝f－a2＝－a24＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，∴M－m＝maxa24，1＋a＋a24与a有关，与b无关；②当－a20时，f(x)在[0，1]上单调递增，∴M－m＝f(1)－f