（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第5讲 函数的值域与最值课件 新人教A版

第5讲函数的值域与最值【课程要求】理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x)在－∞，1上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，则函数的最小值是1，最大值是＋∞.()(2)函数y＝1x的值域是(0，＋∞)．()(3)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．()[答案](1)×(2)×(3)√教材改编2．[必修1p39B组T1]函数f(x)＝x2－2x的值域是________________．3．[必修1p31例4]函数y＝2x－1在[2，3]上的最大值是________．[答案][－1，＋∞)[答案]2易错提醒4．函数y＝4－2x－1的值域为()A．[1，＋∞)B．(－1，1)C．(－1，＋∞)D．[－1，1)[解析]因为2x0，所以4－2x4，所以0≤4－2x2，所以函数y＝4－2x－1的值域为[－1，1)．[答案]D5．已知函数fx＝2x＋3x－1，当x∈2，＋∞时，函数f(x)的值域为()A.－∞，7B.－∞，2∪2，7C.2，7D.2，＋∞[解析]由fx＝2x＋3x－1＝2＋5x－1，x∈2，＋∞，因为f(x)＝2＋5x－1在x∈2，＋∞上是减函数，所以当x＝2，f(x)max＝7，又f(x)＝2＋5x－12，所以值域为2，7.[答案]C6．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1，2]C．[－1，2]D．[2，5][解析]∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.[答案]C【知识要点】1．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有__________；(3)对于任意的x∈I，都有__________；(2)存在x0∈I，使得_________(4)存在x0∈I，使得_________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M2.函数的值域(1)函数f(x)的值域是________的集合，记为{y|y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为_____．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为4ac－b24a，＋∞；当a＜0时，值域为－∞，4ac－b24a.函数值yR(4)反比例函数y＝kx(k≠0)的值域为___________________．(5)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的值域为______________．(6)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的值域为____．(7)正、余弦函数y＝sinx，y＝cosx的值域为____________；正切函数y＝tanx的值域为____．(－∞，0)∪(0，＋∞)(0，＋∞)R[－1，1]R函数最值与值域的求法例1(1)函数y＝x2－2x＋5x－1的值域为________．[解析](均值不等式法)∵y＝x2－2x＋5x－1＝（x－1）2＋4x－1＝(x－1)＋4x－1，又∵当x＞1时，x－1＞0；当x＜1时，x－1＜0.∴当x1时，y＝(x－1)＋4x－1≥24＝4，且当x＝3时等号成立；当x1时，y＝－－（x－1）＋4－（x－1）≤－4，且当x＝－1时，等号成立．综上得函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．[答案](－∞，－4]∪[4，＋∞)(2)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为____________．[解析](函数单调性)由于y＝13x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.[答案]3(3)已知函数f(x)的值域为38，49，则函数g(x)＝f(x)＋1－2f（x）的值域为__________．[解析](化归为一元二次函数)∵38≤f(x)≤49，∴13≤1－2f（x）≤12.令t＝1－2f（x），则f(x)＝12(1－t2)13≤t≤12，令y＝g(x)，则y＝12(1－t2)＋t，即y＝－12(t－1)2＋113≤t≤12.∴当t＝13时，y有最小值79；当t＝12时，y有最大值78.∴g(x)的值域为79，78.[答案]79，78[小结]求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．1．函数y＝2x＋1－x2的值城是____________．[解析](三角换元法)令x＝cost(0≤t≤π)，∴y＝2cost＋sint＝5sin(t＋φ)其中cosφ＝15，sinφ＝25.∵0≤t≤π，∴φ≤t＋φ≤π＋φ，∴sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1.故函数的值域为[－2，5]．[答案][－2，5]2．已知函数f(x)＝x2，x≤1，x＋6x－6，x＞1，则f(x)的最小值是________．[解析](分段函数)当x≤1时，f(x)min＝0，当x＞1时，f(x)min＝26－6，当且仅当x＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f(x)min＝26－6.[答案]26－6函数的最值及应用例2(1)若函数f(x)＝x2－ax＋b在区间[0，1]上的最大值为f(1)，则实数a的取值范围是________．[解析]由f(x)＝x－a22＋b－a24，由f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，则a2≤12，a≤1，故a的取值范围是(－∞，1]．[答案](－∞，1](2)已知函数f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．[解析]由f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1，令t＝x－1，则t∈[－2，2]，则y＝(t2－1)sint＋t＋2，t∈[－2，2]．记g(t)＝(t2－1)sint＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sint＋t是奇函数．由已知得y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.[答案]4[小结](1)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么f(x)在区间端点处取最值；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么ymax＝f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么ymin＝f(b)，从而得出值域．(2)函数的值域是函数值的集合，它受到定义域的制约，故求值域时应首先考虑定义域．最值可由值域而得到，但我们也要重视最值的概念，注意检验是否具备取得最值的条件．(3)函数的值域(最值)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域(最值)问题．高考中选择题、填空题、解答题都有考查．3．已知函数y＝x2－4x＋1的定义域为1，t，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是()A.1，3B.2，3C.1，2D.2，3[解析]∵函数y＝x2－4x＋1是开口向上，对称轴为x＝2的抛物线，又函数y＝x2－4x＋1的定义域为1，t，∴当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，∵函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，∴当y＝－2时，x＝1或x＝3，∴2≤t≤3.[答案]B4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)证明：f(x)为单调递减函数；(2)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．[解析](1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则x1x21，由于当x1时，f(x)0，所以fx1x20，即f(x1)－f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)．由fx1x2＝f(x1)－f(x2)得，f93＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2，9]上的最小值为－2.含参变量的函数值域与最值问题例3已知函数f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1](a为实数)．(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求当函数f(x)取得最值时x的值．[解析](1)当a＝1时，f(x)＝2x－1x，任取0x2x1≤1，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－1x1－1x2＝(x1－x2)2＋1x1x2.∵0x2x1≤1，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，当x＝1时取得最大值1，∴f(x)的值域为(－∞，1]．(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；当a＜0时，f(x)＝2x＋－ax，当－a2≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；当－a2＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在0，－a2上单调递减，在－a2，1上单调递增，无最大值，当x＝－a2时取得最小值2－2a.[小结]1.含参变量的函数最值问题一般有两种类型，一类是参变量的取值决定函数的单调性，另一类是参变量的取值决定函数极值点与自变量取值区间的关系；2.含参变量的函数最值问题的求解关键是参变量分类标准的确定；3.不等式恒成立问题往往化归为函数最值问题，分离参数是解决不等式恒成立问题中的通解通法之一，注意分清“主元”和“参数”．5．设f(x)＝（x－a）2，x≤0，x＋1x＋a，x＞0.若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是()A．[－1，2]B．[－1，0]C．[1，2]D．[0，2][解析]∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋1x＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.[答案]D6．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0，2]上有最小值3，则a的值为__________．[解析]f(x)＝4x－a22－2a＋2，①当a2≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0，2]上是增函数．∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±2.∵a≤0，∴a＝1－