（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第4讲 函数及其表示课件 新人教A版

[知识体系]第4讲函数及其表示【课程要求】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．()(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．()(4)若A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×教材改编2．[必修1p74T7(2)]函数f(x)＝x＋3＋log2(6－x)的定义域是____________．[答案][－3，6)[答案][－3，0]∪[2，3]；[1，5]；[1，2)∪(4，5]3．[必修1p25B组T1]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是____________；值域是____________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是____________．易错提醒4．已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为()A．{x|0＜x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤1}[解析]因为函数f(x)的定义域为[0，2]，所以0≤2x≤2，解得0≤x≤1，所以函数f(2x)的定义域为{x|0≤x≤1}．[答案]D5．已知f2x＋1＝x2＋x，则fx＝________．[解析]设t＝2x＋1，则x＝t－12，∴ft＝t－122＋t－12＝t2－14，即fx＝x2－14.[答案]x2－146．已知f(x)＝2x－2，x≥0，－x2＋3，x0，若f(a)＝2，则a的值为____________．[解析]当a≥0时，2a－2＝2，解得a＝2；当a0时，－a2＋3＝2，解得a＝－1.综上，a的值为－1或2.[答案]－1或2【知识要点】1．函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个__________设A，B是两个非空______对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个数x，在集合B中都有_________的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个元素x，在集合B中都有___________的元素y与之对应名称称_________为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B非空数集集合任意唯一确定任意唯一确定f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______．(2)函数的三要素：________、___________和_______．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有________、__________和_________．定义域函数值定义域对应关系值域值域解析法图象法列表法(4)求函数解析式题型方法步骤已知函数f(g(x))＝F(x)求解析式配凑法将右边的F(x)整理或配凑成关于g(x)的表达式，然后用x将g(x)代换，便得f(x)的解析式．(如例3(1)法一)已知复合函数f(g(x))＝F(x)求解析式换元法令g(x)＝t，从中解出x(用t表示)，代入F(x)进行换元后，得到f(t)，再将t换成x，便得f(x)的解析式．(如例3(1)法二)已知函数类型(如一次函数，二次函数)求解析式待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的系数．(如例3(2))求抽象函数解析式(已知函数的抽象关系式求解函数解析式的问题)解方程组法已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)的解析式．(如训练巩固T6)3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_______，其值域等于各段函数的值域的________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．对应关系并集并集函数与映射的概念例1(1)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图象是()[解析]对于选项A，函数定义域为M，值域不是N；对于选项B，函数定义域不是M，值域为N；对于选项C，函数定义域是M，值域为N，符合题意；对于选项D，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系．[答案]C(2)(多选)下列各组函数中，fx与gx相等的是()A．fx＝x－1，gx＝x2x－1B．fx＝log22x，gx＝xC．fx＝x，gx＝x2D．fx＝lnx2，gx＝2lnx[答案]BC[解析]A．fx＝x－1定义域为R，gx＝x2x－1定义域为－∞，0∪0，＋∞，故fx≠gx，A错误；B．fx＝log22x＝x，gx＝x，故fx＝gx，B正确；C．fx＝x，gx＝x2，∵x＝x2，且fx与gx定义域相同，∴fx＝gx，C正确；D．fx＝lnx2定义域为－∞，0∪0，＋∞，gx＝2lnx定义域为0，＋∞，故fx≠gx，D错误．[小结](1)两个函数是否为同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一个函数．判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．(2)函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定．1．下列集合A到集合B的对应f不是函数的有()①A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方；②A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方根；③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值．A．①②③④B．①③④C．①②D．②③④[解析]判断一个对应是否为函数，主要看对于集合A中的任意一个数，在集合B中能否找到唯一确定的数与之对应．根据函数的概念，可知①是函数；②中，对于A中的元素1，按照对应f，在集合B中有两个数1，－1与之对应，不唯一，故不是函数；③中，对于集合A中的元素0，在集合B中没有与之对应的元素，故③不是函数；④中，对于集合A中的元素0，在集合B中没有与之对应的元素，故④不是函数．[答案]D2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1C．y＝x2x＋1D．y＝x2＋1[解析]对于A，函数y＝(x＋1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝x2x＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.[答案]B函数的定义域例2(1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y＝f（x＋1）－x2－3x＋4的定义域是()A．(－1，1)B．[－1，1]C．[－1，1)D．(－1，1][解析]由题意可得x＋10，－x2－3x＋40，解得－1＜x＜1，所以函数y＝f（x＋1）－x2－3x＋4的定义域为(－1，1)．[答案]A(2)若函数f(x)＝log2(mx2－mx＋1)的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．(0，4)B．[0，4)C．(0，4]D．[0，4][解析]∵函数f(x)＝log2(mx2－mx＋1)的定义域为R，∴mx2－mx＋10在R上恒成立，①当m＝0时，有10在R上恒成立，故符合条件；②当m≠0时，由m0，Δ＝m2－4m0，解得0m4，综上，实数m的取值范围是[0，4)．[答案]B[小结](1)对于给出解析式的函数f(x)，其定义域可能有如下几种情况：①若f(x)是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；②若f(x)是偶次根式，则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合；③如果f(x)是由一些函数通过四则运算组合而成的，那么它的定义域是各函数定义域的交集．(2)函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．(3)抽象函数的定义域：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；②对应法则f下的范围一致．(4)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．3．函数y＝xln(2－x)的定义域为()A．(0，2)B．[0，2)C．(0，1]D．[0，2][解析]由题意知，x≥0且2－x0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0，2)．[答案]B4．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．[解析]因为函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，所以－3≤x≤3，所以－1≤x2－1≤2，所以函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]．[答案][－1，2]函数的解析式例3(1)已知f2x＋1＝4x2＋6x＋5，则fx＝________．[解析]法一：f2x＋1＝2x＋12＋2x＋1＋3，∴fx＝x2＋x＋3，即函数的解析式为fx＝x2＋x＋3.法二：令t＝2x＋1，则x＝t－12.∴ft＝4t－122＋6×t－12＋5＝t2＋t＋3，∴fx＝x2＋x＋3，即为所求的解析式．[答案]x2＋x＋3(2)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x[解析]设所求函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，由题意知f（0）＝d＝0，f（2）＝8a＋4b＋2c＋d＝0，f′（0）＝c＝－1，f′（2）＝12a＋4b＋c＝3，解得a＝12，b＝－12，c＝－1，d＝0，∴f(x)＝12x3－12x2－x.[答案]A[小结]求函数解析式的几种常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便可得f(x)的解析式；(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元，求出f(t)的解析式，再将t替换为x即可．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x(或f(－x))的表达