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单元综合专题(五)动力学方法和能量方法综合专题专题综述动力学方法是应用牛顿运动定律，结合运动学规律研究运动的方法．能量方法是应用动能定理、机械能守恒、能量守恒定律和各种功能关系研究运动的方法．在高中物理中，动力学和能量方法是解决运动问题的两个最基本方法，两个方法各有优势，相互补充，解题时要适当选择，灵活转换．题型透析动力学方法的应用动力学方法概括为：一个核心，两种基本类型，两个基本方法．1．一个核心：加速度是连接运动和力的桥梁，是解题的核心物理量．2．两种基本类型：已知受力求运动；已知运动求力．3．两个基本方法：整体与隔离法；合成与正交分解法．例1如题图所示，一辆汽车A拉着装有集装箱的拖车B，以速度v1＝30m/s进入倾斜的直车道．车道每100m下降2m．为使汽车速度在s＝200m的距离内减到v2＝10m/s，驾驶员必须刹车．假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力，且该力的70%作用于拖车B，30%作用于汽车A.已知A的质量m1＝2000kg，B的质量m2＝6000kg.求汽车与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力．取重力加速度g＝10m/s2.【答案】－880N【解析】把二者看作一个整体，分析受力如图1所示．隔离汽车分析受力如图2所示：汽车沿倾斜车道做匀减速运动，有v22－v12＝－2as①用F表示刹车时的阻力，对整体应用牛顿第二定律：F－(m1＋m2)gsinα＝(m1＋m2)a②式中sinα＝2/100＝2×10－2③根据题意刹车过程汽车的阻力为f＝30100F④用FN表示拖车作用于汽车的力，设其方向与汽车前进方向相反．以汽车为研究对象，由牛顿第二定律有：f＋FN－m1gsinα＝m1a⑤由②④⑤式得FN＝m1(a＋gsinα)－30100(m1＋m2)(a＋gsinα)⑥由①③⑥式，代入有关数据得FN＝－880N，其方向与假设相反，即与汽车前进方向相同．能量方法的应用在应用能量方法解题时，动能定理和能量守恒定律都是普遍适用的规律，机械能守恒定律是一定条件适用的规律．研究单一物体优先考虑动能定理，研究系统一般用能量守恒定律．例2(2016·课标全国Ⅰ)如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态．直轨道与一半径为56R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R.已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝14，重力加速度大小为g.(取sin37°＝35，cos37°＝45)(1)求P第一次运动到B点时速度的大小．(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能．(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点的左下方，与C点水平相距72R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量．【答案】(1)2gR(2)125mgR(3)355gR13m【解析】(1)根据题意知，B、C之间的距离l为l＝7R－2R①设P到达B点时的速度为vB，由动能定理：mglsinθ－μmglcosθ＝12mvB2②式中θ＝37°，联立①②式得：vB＝2gR③(2)设BE＝x，P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep.P由B点运动到E点的过程中，由动能定理：mgxsinθ－μmgxcosθ－Ep＝0－12mvB2④E、F之间的距离l1为：l1＝4R－2R＋x⑤P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理：Ep－mgl1sinθ－μmgl1cosθ＝0⑥联立③④⑤⑥式得：x＝R⑦Ep＝125mgR⑧(3)设改变后P的质量为m1，D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为x1＝72R－56Rsinθ⑨y1＝R＋56R＋56Rcosθ⑩设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t.由平抛运动公式：y1＝12gt2⑪x1＝vDt⑫联立⑨⑩⑪⑫式得：vD＝355gR⑬设P在C点的速度大小为vC，在P由C运动到D的过程中机械能守恒：12m1vC2＝12m1vD2＋m1g(56R＋56Rcosθ)⑭P由E点运动到C点的过程中，同理，由动能定理：Ep－m1g(x＋5R)sinθ－μm1g(x＋5R)cosθ＝12m1vC2⑮联立⑦⑧⑬⑭⑮式得m1＝13m⑯动力学方法和能量方法综合应用对有些综合性题目，只用一种方法求解困难，需要根据问题的特点，利用两种方法的各自优势，相互补充，适当选择，下面是两个方法应用情况对比：动力学方法能量方法分析物体运动过程分析瞬时状态变化求加速度求时间多个运动过程多个物体的系统复杂的曲线运动求速度和位移例3如图甲所示，一轻质弹簧上端固定在O点，下端与一质量为m＝1kg的物块A连接，物块A放在水平托盘B上．开始时，A、B均处于静止且弹簧处于原长状态，现通过控制托盘B的运动使物块A以一定的加速度向下匀加速运动，运动过程中B对A的作用力F大小与弹簧伸长量x之间的关系如图乙所示，A、B恰要分离时弹簧的弹性势能为0.16J．g取10m/s2.求：(1)物块A在匀加速运动过程中的加速度a；(2)物块A能够保持匀加速运动状态的时间t.【答案】(1)2m/s2(2)0.2s【解析】(1)对物块A列牛顿第二定律方程：mg－F－kx＝ma①当x＝0时，有F0＝m(g－a)②解得a＝2m/s2③(2)当F＝m(g－a)－kx0＝0时，A、B两物体恰好脱离，之后物块A将不做匀加速运动得x0＝m（g－a）k＝8k④由v2＝2ax0＝32k⑤WF＝12Fx0＝12×8×8k＝32k⑥在物块A能够保持匀加速运动的过程中，对A列动能定理方程mgx0－WF－W弹簧＝12mv2－0⑦得k＝200N/m⑧由运动学方程可得x0＝12at2⑨得t＝0.2s⑩例4如图所示，物体A、B用绕过光滑的定滑轮的细线连接，离滑轮足够远的物体A置于光滑的平台上，物体C中央有小孔，C放在物体B上，细线穿过C的小孔．“U”形物D固定在地板上，物体B可以穿过D的开口进入其内部而物体C又恰好能被挡住．物体A、B、C的质量分别为mA＝8kg、mB＝10kg、mC＝2kg，物体B、C一起从静止开始下降H1＝3m后，C与D发生没有能量损失的碰撞，B继续下降H2＝1.17m后也与D发生没有能量损失的碰撞．取g＝10m/s2，求：(1)物体C与D碰撞时的速度大小．(2)物体B与D碰撞时的速度大小．(3)B、C两物体分开后经过多长时间第一次发生碰撞．【答案】(1)6m/s(2)7m/s(3)0.93s【解析】(1)由于平台是光滑的，物体A、B、C整体在运动过程中机械能守恒，则有：(mB＋mC)gH1＝12(mA＋mB＋mC)vC2代入数据得vC＝6m/s(2)物体C与D碰撞后，物体A、B继续运动，满足机械能守恒，则有：mBgH2＝12(mA＋mB)(vB2－vC2)代入数据得vB＝7m/s.(3)物体C与D碰撞后，物体B在继续下落过程中的加速度为：a＝mBgmA＋mB＝509m/s2下落所用时间t′＝vB－vCa＝0.18sB、C与D碰撞后无机械能损失，都以原速率反弹，做竖直上抛运动，取竖直向上为正方向，设C反弹后经过时间t后B、C两物体相碰，则有：hC＝vCt－12gt2hB＝vB(t－t′)－12g(t－t′)2hB＝hC＋H2联立解得t＝0.93s例5如图所示，质量为m的长木块A静止于光滑水平面上，在其水平的上表面左端放一质量为m的滑块B，已知木块长为L，它与滑块之间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的恒力F拉滑块B.(1)当长木块A的位移为多少时，B从A的右端滑出？(2)求上述过程中滑块与木块之间产生的内能．【答案】(1)μmgLF－2μmg(2)μmgL【解析】(1)设B从A的右端滑出时，A的位移为s，A、B的速度分别为vA、vB，由动能定理，得μmgs＝12mvA2(F－μmg)·(s＋L)＝12mvB2又由同时性，可得vAaA＝vBaB(aA＝μg，aB＝F－μmgm)可解得s＝μmgLF－2μmg(2)由能量守恒定律知，拉力做的功等于A、B动能的增加量和A、B间产生的内能，即有F(s＋L)＝12mvA2＋12mvB2＋Q可解得Q＝μmgL特别提示例5虽然没有明确要求计算时间，但物块在木板上相对滑动过程中，二者运动时间相同，若只考虑应用能量方法，就漏掉了两个运动同时性这一隐含条件，则无法求出共同速度．1.(2018·江苏)(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置．物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点．在从A到B的过程中，物块()A．加速度先减小后增大B．经过O点时的速度最大C．所受弹簧弹力始终做正功D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功答案AD解析A项，弹力与摩擦力平衡的位置在OA之间，加速度为零时弹力和摩擦力平衡，所以物块在从A到B的过程中加速度先减小后反向增大，故A项正确；B项，物体在平衡位置处速度最大，所以物块速度最大的位置在AO之间某一位置，故B项错误；C项，从A到O过程中弹力方向与位移方向相同，弹力做正功，从O到B过程中弹力方向与位移方向相反，弹力做负功，故C项错误；D项，从A到O过程中根据动能定理可得W弹－W克f＝0，即W弹＝W克f，即弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功，故D项正确．2.(2018·徐州一模)如图所示，物块固定在水平面上，子弹以某一速率从左向右水平穿透物块时速率为v1，穿透时间为t1；若子弹以相同的速率从右向左水平穿透物块时速率为v2，穿透时间为t2.子弹在物块中受到的阻力大小与其到物块左端的距离成正比．则()A．t1t2B．t1t2C．v1v2D．v1v2答案B解析两种情况下阻力对子弹做的功大小是相等的，根据动能定理可知二者的末速度大小是相等的，即v1＝v2.C项错误，D项错误；设子弹的初速度是v0，若子弹从左向右水平穿透物块时，子弹受到的阻力越来越大，木块做加速度增大的减速运动，平均速度：v1v1＋v02；若子弹以相同的速率从右向左水平穿透物块时，子弹受到的阻力越来越小，则子弹做加速度减小的减速运动，所以平均速度：v2v0＋v22v1.子弹穿过物块的时间：t＝dv－.所以可知：t1t2.故A项错误，B项正确．3．(2018·郑州一模)在光滑的水平面上有一静止的物体，现以水平恒力F1推这一物体，作用一段时间后换成相反方向的水平恒力F2推这一物体，当恒力F2作用的时间与恒力F1作用的时间相等时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J，则在整个过程中，恒力F1、F2做的功分别为()A．16J、16JB．8J、24JC．32J、0JD．48J、－16J答案B解析设加速的末速度为v1，匀变速的末速度为v2，由于加速过程和匀变速过程的位移相反，又由于恒力F2作用的时间与恒力F1作用的时间相等，根据平均速度公式有v12＝－v1＋v22解得v2＝－2v1根据动能定理，加速过程W1＝12mv12匀变速过程W2＝12mv22－12mv12根据题意12mv22＝32JW1＝8JW2＝24J.4.(2018·湖南省联考)(多选)有一物体由某一固定的长斜面的底端以初速度v0沿斜面上滑，斜面与物体间的动摩擦因数μ＝0.5，其动能Ek随离开斜面底端的距离x变化的图线如图所示，g取10m/s2，不计空气阻力，则以下说法正确的是()A．斜面的倾角θ＝30°B．物体的质量为m＝0.5kgC．斜面与物体间的摩擦力大小f＝2ND．物体在斜面上运动的总时间t＝2s答案BC解析由动能定理F合x＝ΔEk知Ekx图像的斜率表示合外力，则上升阶段斜率为mgsinθ＋μmgcosθ＝255＝5，下降阶段斜率为mgsinθ－μmgcosθ＝55＝1，联立得tanθ＝34，即θ＝37°，m＝0.5kg，故A项错误，B项正确．物体与斜面间的摩擦力为f＝μmgcosθ＝2N，故C项正确．上升阶段由Ekx图像的斜率知合力为F1＝5N，由F1＝