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单元综合专题(九)带电粒子在交变电、磁场中的运动专题专题综述带电粒子在交变电、磁场中运动时，电场或磁场随时间做周期性变化，带电粒子的受力也做周期性变化，使粒子的运动具有周期性．解决此类问题的基本思路是：题型透析交变磁场例1如图甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子的质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．(1)求磁感应强度B0的大小；(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，求正离子射入磁场时的速度v0的可能值．【解析】(1)设正离子射入磁场后做匀速圆周运动，粒子运动的周期T0＝2πmqB0磁感应强度：B0＝2πmqT0.(2)正离子从O′孔垂直于N板射出磁场时，运动轨迹如图所示．在两板之间正离子只运动一个周期T0时，有r＝d4在两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有r＝d4n(n＝1，2，3，…)解得v0＝πd2nT0(n＝1，2，3，…)．交变磁场＋恒定电场例2(2017·江西二模)如图甲所示，直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有垂直坐标平面的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外为正方向．第三象限内有一发射装置(没有画出)沿y轴正方向射出一个比荷qm＝100C/kg的带正电的粒子(可视为质点且不计重力)，该粒子以v0＝20m/s的速度从x轴上的点A(－2m，0)进入第二象限，从y轴上的点C(0，4m)进入第一象限．取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化．g＝10m/s2.(1)求第二象限内电场的电场强度大小；(2)求粒子第一次经过x轴时的位置坐标．【解析】(1)带电粒子在电场中做类平抛运动，粒子从A点到C点用时t＝OCv0＝420s＝15s；粒子在水平方向上有a＝qEm，OA＝12at2，则有E＝mqa＝2·OA·mqt2＝2×210×（12）2N/C＝1N/C；(2)粒子进入磁场时的速度为v，竖直分量vy＝v0＝20m/s，水平分量vx＝at＝qEmt＝20m/s；v＝vx2＋vy2＝202m/s，v与y轴正方向的夹角为45°；粒子在磁场中的做圆周运动的半径R＝mvBq＝202100×0.4m＝22m；粒子做圆周运动的周期T＝2πRv＝π20s，由图乙可知，粒子每运动半个圆周则偏转方向相反，则粒子在磁场中的运动如图所示，因为42＝8R，所以粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴，由等腰三角形性质可知，粒子第一、二次经过x轴，在x轴上对应的弦长为2R＝1m；所以OD＝3m，则粒子第一次经过x轴时的位置坐标为(3m，0)．交变电场＋恒定磁场例3(2017·深圳二模)如图甲所示，以两虚线M、N为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，M、N间电压UMN的变化图像如图乙所示，电压的最大值为U0、周期为T0；M、N两侧为相同的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B.t＝0时，将一带正电的粒子从边界线M上的A处由静止释放，经电场加速后进入磁场，粒子在磁场中做圆周运动的周期也为T0.两虚线M、N间宽度很小，粒子在其间的运动时间不计，也不考虑粒子所受的重力．(1)求该粒子的比荷；(2)求粒子第1次和第2次从右向左经边界线N离开磁场区域Ⅰ时两位置间的距离Δd；【答案】(1)2πT0B(2)2(3－2)U0T0πB【解析】(1)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，周期为：T＝2πrv＝2πmBq，由题可知：T＝T0，解得：qm＝2πT0B(2)由于不计粒子穿越MN间的时间，则可认为t＝0时刻出发的粒子穿越MN的过程中电压始终为U0，t＝12T0时刻第1次自右向左穿过边界线N，再加速一次进入磁场区域Ⅱ时的速度为v1，由动能定理得：2qU0＝12mv12，第2次自右向左到达边界线N时被加速3次，速度设为v2，由动能定理得：3qU0＝12mv22，如图所示，第1、2两次到达边界N的位置距离为Δd：Δd＝2(R2－R1)＝2(mv2qB－mv1qB)解得：Δd＝2(3－2)U0T0πB.交变磁场＋交变电场例4如图(a)所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图(b)所示，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向．t＝0时刻，带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动．v0、E0和t0为已知量，图(b)中E0B0＝8v0π2，在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为(2v0t0π，2v0t0π)．求：(1)粒子P的比荷；(2)t＝2t0时刻粒子P的位置；(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L.【答案】(1)4v0πE0t0(2)(2＋ππv0t0，0)(3)2＋ππ2v0t0【解析】(1)0～t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过14圆周，所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R，即R＝2v0t0π①又qv0B0＝mv02R②代入E0B0＝8v0π2解得qm＝4v0πE0t0.③(2)设粒子P在磁场中运动的周期为T，则T＝2πRv0④联立①④解得T＝4t0⑤即粒子P做14圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后做类平抛运动，设t0～2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1，则x1＝v0t0＝2πR4＝πR2⑥y1＝12at02，⑦其中加速度a＝qE0m由③⑦解得y1＝2v0t0π＝R，因此t＝2t0时刻粒子P的位置坐标为(2＋ππv0t0，0)，如图中的b点所示．(3)分析知，粒子P在2t0～3t0时间内，电场力产生的加速度方向沿y轴正方向，由对称关系知，在3t0时刻速度方向为x轴正方向，位移x2＝x1＝v0t0；在3t0～5t0时间内粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如图所示，由图可知，带电粒子在运动中距原点O的最远距离L即O、d间的距离L＝2R＋2x1⑧解得L＝2＋ππ2v0t0方法总结带电粒子在交变电场、磁场中运动的解题关键：(1)明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性，对粒子的运动情景、运动性质做出判断．(2)这类问题一般都具有周期性，在分析粒子运动时，要注意粒子的运动周期、电场周期、磁场周期的关系．1．(2018·成都模拟)(多选)如图甲所示，ABCD是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁场的正方向，图中AB＝3AD＝3L，一质量为m、所带电荷量为q的带正电粒子以速度v0在t＝0时从A点沿AB方向垂直磁场射入，粒子重力不计．则下列说法中正确的是()A．若粒子经时间t＝12T0恰好垂直打在CD上，则磁场的磁感应强度B0＝mv0qLB．若粒子经时间t＝32T0恰好垂直打在CD上，则粒子运动中的加速度大小a＝3v022LC．若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，则磁场的磁感应强度的大小B0＝nmv02qL(n＝1，2，3…)D．若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，磁场变化的周期T0＝2πL3nv0(n＝1，2，3…)答案AD解析粒子在磁场中运动只受洛伦兹力作用，故粒子做圆周运动，洛伦兹力做向心力，故有：Bvq＝mv2q，所以，磁感应强度B＝mvqR，加速度a＝v2R，周期T＝2πRv；A项，若粒子经时间t＝12T0恰好垂直打在CD上，那么，粒子做圆周运动的半径为L，则磁感应强度B0＝mv0qL，故A项正确；B项，若粒子经时间t＝32T0恰好垂直打在CD上，那么，粒子做圆周运动的半径为13L，则加速度a＝3v02L，故B项错误；C、D两项，若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，那么，粒子经过nT0时间运动的速度沿DC方向；则粒子经过12T0转过的中心角为60°，粒子做圆周运动的半径R＝12nAC＝1nL，n∈N*；故磁场的磁感应强度的大小B0＝mv0q·1nL＝nmv0qL，n∈N*，磁场变化的周期T0＝13T＝13×2π·1nLv0＝2πL3nv0，n∈N*，故C项错误，D项正确．2．(2018·烟台模拟)如图所示，在xOy平面内加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律如图乙所示(规定竖直向上为电场强度的正方向，垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)．在t＝0时刻，质量为m、电荷量为q的带正电粒子自坐标原点O处以v0＝2πm/s的速度沿x轴正向水平射入．已知电场强度E0＝2mq、磁感应强度B0＝2mq，不计粒子重力．求：(1)t＝πs时粒子速度的大小和方向；(2)πs～2πs内，粒子在磁场中做圆周运动的半径；(3)画出0～4πs内粒子的运动轨迹示意图．解析(1)在0～πs内，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子在x轴正方向上做匀速运动：vx＝v0y轴正方向上做匀加速运动：vy＝qE0mtπs末的速度为v1＝vx2＋vy2v1与水平方向的夹角为α，则tanα＝vyvx，代入数据解得v1＝22πm/s，方向与x轴正方向成45°斜向上．(2)因T＝2πmqB0＝πs，故在πs～2πs内，粒子在磁场中做一个完整的圆周运动，由牛顿第二定律得：qv1B0＝mv12R1，解得R1＝mv1qB0＝2πm(3)轨迹如图所示．3．(2018·聊城二模)如图甲所示，粒子源靠近水平极板M、N的M板，N板下方有一对长为L，间距为d＝L的竖直极板P、Q，在下方区域存在着垂直于纸面的匀强磁场，磁场上边界放有范围足够大的感光胶片．水平极板M、N之间的电压为U0，中间开有小孔，两小孔连线的延长线为竖直极板P、Q的中线，与磁场上边界的交点为O.P、Q之间的电压UPQ随时间t变化的图像如图乙所示，磁场的磁感应强度B＝1LmU0q.粒子源连续释放初速度不计、质量为m、带电量为＋q的粒子，经加速后进入竖直极板P、Q之间的电场．再进入下方磁场的粒子全部打在感光胶片上．已知粒子在偏转电场中运动的时间远小于电场变化的周期，粒子所受重力不计．求：(1)带电粒子从N板小孔射出时的速度；(2)为使进入磁场的粒子都能打在胶片上，磁场上、下边界的最小距离；(3)以O点为坐标原点，向右为正方向建立坐标轴Ox，粒子在胶片上的落点的坐标范围．解析(1)由动能定理得：qU0＝12mv12所以：v1＝2qU0m(2)设带电粒子以速度v进入磁场，如图所示，且与磁场边界之间的夹角为α时，向下偏移的距离：Δy＝R－Rcosα＝R(1－cosα)根据洛伦兹力提供向心力：qvB＝mv2R，可得：R＝mvqB粒子进入磁场中的速度：v＝v1sinαΔy＝mv1qB·（1－cosα）sinα，当α＝90°时，Δy有最大值．即带电粒子进入竖直极板之间的电场不发生偏转，磁场上、下边界区域的最小宽度即为此时的带电粒子运动轨道半径．所以粒子离开上边界的最大距离：Δymax＝mv1qB将v1＝2qU0m以及B＝1LmU0q代入上式可得磁场上、下边界的最小距离：dmin＝Δymax＝2L(3)粒子运动轨迹如图所示，若t＝0时进入偏转电场，在电场中匀速直线运动进入磁场时，粒子半径：R＝2L，打在感光胶片上距离中心线最近距离：xmin＝2R＝22L，任意电压时出偏转电场时的速度为vn，根据几何关系：vn＝v1cosα根据洛伦兹力提供向心力：qvnB＝mvπ2Rn，可得：Rn＝mvnqB在胶片上落点长度为：Δx＝2Rncosα＝2mv1qB打在感光胶片上的位置和射入磁场位置间的间距相等，与偏转电压无关．在感光胶片上的落点宽度等于粒子在电场中的偏转距离．带电粒子在电场中最大偏转距离：y＝12at2＝12·3qU01.5Lm·(Lv1)2＝12L粒子在感光胶片上落点距交点O的最小和最大长度分别是22L和42＋12L则落点横坐标范围是：22L≤x≤42＋12L.