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单元综合专题(二)求解平衡问题的八种方法专题综述求解平衡问题的思路可归纳为：一个核心：合力为零三个环节：选研究对象——做受力分析——建立平衡关系八种方法：合成法、正交分解法、图解法、假设法、整体与隔离法、相似三角形法、函数极值法、正弦定理法．题型透析合成法对三力平衡问题，一般用合成法：用平行四边形定则，将任意两个力合成，其合力与第三个力等大反向，从三个力组成的三角形中建立关系式．例1(2018·吉林二模)在一个圆锥形容器内放置两个完全相同的光滑小球，两个小球静止时球心等高，截面如图所示；已知小球的质量为m，圆锥顶角α＝60°，重力加速度为g；设容器壁对每个小球的弹力大小为N1，小球之间的弹力大小为N2，则()A．N1＝mg，N2＝2mgB．N1＝mg，N2＝3mgC．N1＝2mg，N2＝mgD．N1＝2mg，N2＝3mg【答案】D【解析】对小球受力分析，如图所示：N1与N2的合力与重力等大反向可得：N1＝mgsin30°＝2mg；N2＝mgtan30°＝3mg.正交分解法对多力平衡问题，将各力分解到x、y两个垂直的方向上，根据平衡条件Fx＝0，Fy＝0建立关系式，值得注意的是：对x、y方向选择时，尽可能使较多的力落在x、y轴上．例2如图所示，物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10m/s2)【解析】对A球受力分析，受到拉力F，重力mg，两根细绳的拉力FB、FC，如图所示，根据平衡条件，有：x方向：Fcos60°＝FCcos30°＋FBcos30°y方向：Fsin60°＋FBsin30°＝mg＋FCsin30°解得：FB＝mg－33FFC＝233F－mg当FB＝0时，F最大，为：Fmax＝203N；当FC＝0时，F最小，为：Fmin＝103N；故拉力F的范围为：103N≤F≤203N.图解法对于动态平衡状态问题，且受三个力作用时，常用图解法分析．根据平行四边形定则，画出物体初状态力的合成矢量图，按照力的变化改变原来的矢量图，依据有向线段长度的变化，判断各个力的变化情况．应用图解法的关键是：明确不变力，弄清变力的变化趋势．例3如图所示，质量分布均匀的光滑小球O，放在倾角均为θ的斜面体上，斜面体置于同一水平面上，且处于平衡，则下列说法中正确的是()A．甲图中斜面体对球O弹力最小B．丙图中斜面体对球O弹力最小C．乙图中挡板MN对球O弹力最小D．丙图中挡板MN对球O弹力最小【答案】D【解析】如图，根据平衡条件得知，斜面体对小球的弹力和挡板对小球的弹力的合力与重力大小相等、方向相反，根据矢量图的变化得知，丁图中斜面体对小球的弹力最小(为零)，丙图中挡板MN对球O弹力FN挡最小，故A、B、C三项错误，D项正确．假设法在受力分析时，当弹力或摩擦力的方向不能确定时，可用假设法对各种可能情况排除，这是解决多种可能性问题的有效方法．例4(多选)如图所示，竖直放置的轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与斜面体P连接，P与斜放的固定挡板MN接触且处于静止状态，弹簧处于竖直方向，则斜面体P此刻受到外力的个数可能为()A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】AC【解析】(1)如图甲所示，假设弹簧弹力F等于其重力mg，则MN对P没有力的作用，P受到2个力．(2)如图乙所示．假设弹簧弹力大于P的重力，则MN对P有压力FN，只有压力FN，则P不能平衡，同时一定存在向右的力，只能是MN对P的摩擦力Ff，因此P此时受到4个力．整体法与隔离法对多个物体平衡问题，首先要确定研究对象，采用的方法是整体法与隔离法．当分析外力对系统的作用时，宜用整体法；在分析系统内各物体间的相互作用时，常用隔离法．对复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法．例5如图甲所示，两段等长轻质细线将质量分别为m、3m的小球a、b，悬挂于O点．现在两个小球上分别加上水平方向的外力，其中作用在a球上的力大小为F1、作用在b球上的力大小为F2，则此装置平衡时，出现了如图乙所示的状态，b球刚好位于O点的正下方．则F1与F2的大小关系应为()A．F1＝4F2B．F1＝3F2C．3F1＝4F2D．3F1＝7F2【答案】D【解析】设Oa绳、ab绳和竖直方向的夹角为α，根据平衡条件：以整体为研究对象：F1－F2＝TOasinα；TOa·cosα＝4mg；以小球b为研究对象：Tabcosα＝3mg；F2＝Tabsinα；由此可得：TOaTab＝43；F1－F2F2＝TOaTab，解得3F1＝7F2；故选D项．相似三角形法在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算．例6如图所示，两个带有同种电荷的小球A、B用绝缘轻细线相连悬于O点，已知q1q2，L1L2，平衡时两球到过O点的竖直线的距离相等，则()A．m1m2B．m1m2C．m1＝m2D．不能确定【答案】C【解析】对两小球A、B受力分析如图所示(OC距离为L、Fc与Fc′为所受库仑力)．由力三角形和几何三角形相似，对m1有m1gFc＝Lx1，对m2有m2gFc′＝Lx2，由于Fc＝Fc′，可得m1m2＝x2x1，由于两球到过O点的竖直线的距离相等，所以x1＝x2，m1＝m2，正确答案为C项．三角函数极值法对于求解平衡中的极值问题，可根据平衡条件，建立几个力的函数关系，用三角函数知识求极值．例7如图所示，质量为m1的不带电小环A套在动摩擦因数为μ＝33的竖直杆上，其最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一质量为m2、带电荷量为＋q的小球B与A用一绝缘细线相连，整个装置处于匀强电场中，恰好保持静止，则当电场强度E存在最小值时，E与水平方向的夹角θ为()A．0°B．30°C．45°D．60°【答案】D【解析】对AB整体研究，受到竖直向下总的重力(m1＋m2)g、电场力Eq、沿水平方向垂直于杆的弹力FN和竖直向上的摩擦力，则由平衡条件可得：Eqsinθ＋μFN＝(m1＋m2)g，FN＝Eqcosθ.解得Eq(sinθ＋μcosθ)＝(m1＋m2)g，因为sinθ＋μcosθ＝1＋μ2sin(θ＋φ)，其中tanφ＝μ，φ＝30°，所以当θ＝60°时，E最小，D项正确．正弦定理法如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即F1sinα＝F2sinβ＝F3sinγ.例8如图所示的装置中，两根细绳系住一个小球，两细绳间夹角为θ，细绳AC呈水平状态，现将整个装置在纸面内顺时针缓缓地转动90°角，在转动过程中，保持两绳夹角θ不变．则在转动过程中，CA绳中的拉力FA和CB绳中的拉力FB的大小发生的变化是()A．FA先减小，后增大B．FA先增大，后减小C．FB逐渐减小D．FB最后减到零【答案】BCD【解析】如图所示，小球受到三力作用而平衡，根据正弦定理：Gsinθ＝FAsinα＝FBsinβ，所以FA＝Gsinαsinθ，FB＝Gsinβsinθ.装置在纸面内顺时针缓缓地转动90°角的过程中，θ不变，由图可知，α角由大于90°的钝角变成小于90°的锐角，而β角由90°增大到180°.由上式可得，FA先增大后减小，FB逐渐减小；当装置刚好转动90°角时，FA＝G，FB＝0.故B、C、D三项正确．1.(2017·课标全国)如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为()A.3－1B．2－3C.32－12D．1－32答案B解析当用F1拉物块时，由平衡条件可知F1cos60°＝μ(mg－F1sin60°)；当用F2推物块时，有F2cos30°＝μ(mg＋F2sin30°)，又F1＝F2，求得μ＝cos30°－cos60°sin30°＋sin60°＝2－3，B项正确．2.(2018·定州市模拟)如图所示，斜面小车M静止在光滑水平面上，M左边紧贴墙壁，若在M斜面上放一个物体m，当m沿着M的斜面下滑时，M始终静止不动，则M受力个数可能为()A．4个或5个B．5个或6个C．3个或4个D．4个或6个答案A解析(1)假如斜面光滑，则物体m沿斜面加速下滑，墙面对小车有弹力作用，受4个力作用．(2)假如斜面不光滑，且物体m匀速下滑，整体在水平方向上没有加速度，故不受墙面作用，受4个力作用．(3)假如斜面不光滑，且物体m加速下滑，整体在水平方向上有加速度分量，故墙面对小车有弹力作用，故受5个力作用；综上所述，故A项正确，B、C、D项错误．3.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一个光滑的小孔．质量为m的小球套在圆环上．一根细线的下端拴着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移．在移动过程中手对线的拉力F的大小和轨道对小球的弹力N的大小的变化情况是()A．F大小将不变B．F大小将增大C．N大小将不变D．N大小将增大答案C解析对小球受力分析如图：三角形AOC和三角形BCD相似，由mgOA＝NOC可知C项对，D项错；由mgOA＝FAC可知F将减小，A、B两项错误．4.(2018·日照模拟)如图所示，倾角为θ＝30°的斜面体放在水平地面上，一个重为G的球在水平力F的作用下静止于光滑斜面上，此时水平力的大小为F；若将力F从水平方向逆时针转过某一角度后，仍保持F的大小不变，且小球和斜面依然保持静止，此时水平地面对斜面体的摩擦力为Ff，那么F和Ff的大小分别是()A．F＝36G，Ff＝33GB．F＝32G，Ff＝34GC．F＝34G，Ff＝32GD．F＝33G，Ff＝36G答案D解析先研究第一种情况：对物体受力分析如图所示．由平衡条件得：N与F的合力F′与重力G大小相等，由三角函数关系得：F＝Gtanθ＝33G；转过一角度后，由F大小不变，小球静止，支持力与F的合力不变，故此时转动后F转方向如图：根据几何知识可得F转过的角度是2θ.对整体受力分析并正交分解如图：水平方向：f＝Fcos2θ＝33Gcos60°＝36G.5．(2018·河南模拟)放在粗糙的水平地面上的斜面体，倾角θ＝45°，斜面光滑．斜面上有两个质量均为m的小物块A、B，它们之间有轻绳连接．当用水平外力F推物块A时，两个滑块和斜面体一起向左做匀速直线运动．若斜面对物块A的支持力大小为NA、斜面对物块B的支持力大小为NB，则下列结论正确的是()A．NA＝22mg，NB＝22mgB．NA＝322mg，NB＝322mgC．NA＝322mg，NB＝22mgD．NA＝22mg，NB＝322mg答案C解析对A、B整体，受重力、推力和支持力，根据平衡条件，沿斜面方向：Fcos45°＝2mgsin45°，解得：F＝2mg；对物块A：NA＝mgcos45°＋Fcos45°＝322mg；对物体B：NB＝mgcos45°＝22mg.6.如图甲所示，质量均为1kg的物块A、B静止在水平面上，A、B由劲度系数为3N/cm的轻弹簧相连，物块A套在竖直杆上，在竖直向上的力F作用下沿杆缓慢上移，已知物块A、B处于水平面时距离为16cm，弹簧原长为18cm，物块B与地面间动摩擦因数μ1为0.75，物块A与杆间动摩擦因数μ2为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．(g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)当A在地面时，B所受的摩擦力；(2)当A上升到c点时，弹簧的弹力恰为使物块B运动的最小值，c点的高度为多少；(3)B运动之前，力F随上升高度h的变化如图乙所示，求出坐标a、b、Fc的数值．答案(1)6N(2)0.12m(3)0.08m0.0825m20.8N解析3N/cm＝300N/m；18cm＝0.18m，16cm＝0.16m(1)当A在地面时，由胡克定律得：弹簧的弹力大小为F1＝k(L0－L1)＝300×(0.18－