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9．3带电粒子在磁场中运动的临界值与多解专题专题综述一、带电粒子在有界磁场中运动的临界值问题单面边界磁场中的临界值．平行边界磁场中的临界值．直角边界磁场中的临界值．三角形边界磁场中的临界值．矩形边界磁场中的临界值．圆形边界磁场中的临界值．二、带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子的电性不确定形成多解．磁场的方向不确定形成多解．带电粒子的速度不确定形成多解．临界状态不唯一形成多解．带电粒子的周期性运动形成多解.题型透析带电粒子在有界磁场中运动的临界值问题当大量带电粒子通过磁场区域时，由于边界的约束而产生“恰好”“最大”“至少”“不相撞”等临界值问题，解决此类问题的关键是画出“临界轨迹”．1．探究“临界轨迹”的方法(1)“放缩圆法”：如图，一束带电粒子垂直射入匀强磁场，初速度方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度方向的直线上，其轨迹为半径放大的动态圆，利用放缩的动态圆，可以找出与右边界相切的“临界轨迹”．(2)“旋转圆法”：如图，一束带电的粒子垂直射入匀强磁场，初速度大小相同，方向不同，所有粒子运动的轨道半径相同，运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆，通过旋转圆确定粒子“临界轨迹”．2．判断临界值的常用结论(1)粒子刚好穿出磁场的条件：在磁场中运动的轨迹与边界相切．(2)根据半径判断速度的极值：轨迹圆的半径越大，对应的速度越大．(3)根据圆心角判断时间的极值：粒子运动转过的圆心角越大，时间越长．(4)根据弧长(或弦长)判断时间的极值：当速率一定时，粒子运动弧长(或弦长)越长，时间越长．(一)单面边界磁场的临界值例1(2018·洛阳三模)如图所示，空间存在垂直纸面的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大的绝缘板上方，间距为d，在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力．已知粒子做圆周运动的半径也为d，则粒子()A．能打在板上离P点的最远距离为2dB．能打在板上的区域长度是2dC．到达板上的最长时间为3πd2vD．到达板上的最短时间为πd2v【答案】C【解析】用“旋转圆法”，如图1所示，右侧轨迹打在板上B点，当PB恰为轨迹圆的直径时，离P点最远，距离为2d.左侧轨迹与板的切点为A，则AB为能打在板上的区域长度，根据几何关系知：1＝d＋3d＝(3＋1)d.A、B两项错误．如图2所示，当右侧轨迹与板相切时，转过的圆心角最大，经过的时间最长，t长＝t1＝34T＝34×2πdv＝3πd2v左侧轨迹与板的交点为D，当PD与板垂直时，转过的弧长最短，经过的时间最短，t短＝t2＝16T＝16×2πdv＝πd3v.C项正确、D项错误．(二)平行边界磁场的临界值例2(2018·沈阳一模)(多选)如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域宽度为d，纵向范围足够大．现有一群电子从坐标原点O以相同的速率v沿纸面不同方向进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径r＝d，则下列判断正确的是()A．右边界有电子射出的范围为－d＜y≤dB．右边界有电子射出的范围为0＜y≤dC．电子在磁场内运动的最短时间为πd3vD．电子在磁场内运动的最长时间为πd2v【答案】AC【解析】利用“旋转圆法”，如图所示：当粒子入射的方向向上时，粒子向上偏转的位移最大，当粒子入射的方向水平向右时，由于粒子的轨道半径r＝d，运动轨迹与右边界相切，粒子向下偏转的位移最大，有几何关系知：右侧有电子射出的范围为－d＜y≤d.A项正确，B项错误．当右侧出射点与O点的距离是d时，粒子运动时间最短，轨迹对应的圆心角θ＝π3，最短时间t＝rθv＝πd3v.运动轨迹与右边界相切时，粒子运动时间最长，轨迹对应的圆心角θ＝π，最长时间t＝πdv故C项正确，D项错误．题型反思在例2中，如果d与r满足下面三种情况：图(a)d2r图(b)2rdr图(c)dr用“旋转圆法”，找出“临界轨迹”，思考下面三个问题：1．粒子在磁场中运动的最长和最短时间？2．粒子从左边界从左边界射出粒子的范围？3．粒子从右边界从右边界射出粒子的范围？(三)直角边界磁场的临界值例3如图所示，在x0，y0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的某点P(不在原点)沿着与x轴成30°角的方向射入磁场．不计重力的影响，则下列有关说法中正确的是()A．只要粒子的速率合适，粒子就可能通过坐标原点B．粒子在磁场中运动所经历的时间一定为5πm/3qBC．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πm/qBD．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πm/6qB【答案】C【解析】利用“放缩圆法”：根据同一直线边界上粒子运动的对称性可知，粒子不可能通过坐标原点，A项错误；粒子运动的情况有两种，一种是从y轴边界射出，最短时间要大于2πm3qB，故D项错误；对应轨迹①时，t1＝T2＝πmqB，C项正确，另一种是从x轴边界飞出，如轨迹③，时间t3＝56T＝5πm3qB，此时粒子在磁场中运动时间最长，故B项错误．(四)三角形边界磁场的临界值例4如图，直角三角形abc内有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，∠a＝30°，ac＝2L，P为ac的中点．在P点有一粒子源可沿平行cb方向发出动能不同的同种正粒子，粒子的电荷量为q、质量为m，且粒子动能最大时，恰好垂直打在ab上．不考虑重力，下列判断正确的是()A．粒子动能的最大值为q2B2L2mB．ab上可能被粒子打中区域的长度为3－33LC．粒子在磁场中运动的最长时间πm6qBD．ac上可能被粒子打中区域的长度为13L【答案】B【解析】利用“放缩圆法”：画出速度最大和打在ab上速度最小的轨迹如图所示，半径分别为r1和r2，由几何关系：r1＝aP＝ae＝L，由于打在ab上速度最小的粒子的轨迹与ab相切于f点，由几何关系：r2＝13aP＝13L最大动能对应最大的半径r1，由半径公式求得最大速度v1＝qBr1m＝qBLm，最大动能Ek＝12mv12＝q2B2L22m，A项错误．由几何关系知：af＝3r2＝3L3，则打在ab上的范围为ae－af＝3－33L，B项正确．最长时间是打在ac上的粒子，其轨迹为半圆，时间为12T＝πmqB，C项错误．当速度比v2更小时，粒子将打在ac上，其范围为Pg＝2r2＝23L，D项错误．(五)矩形边界磁场的临界值例5(2018·山东模拟)(多选)如图所示，ABCD是磁感应强度为B的匀强磁场的边界AB＝2a、BC＝a，磁场方向垂直纸面向里．一细束质量为m、电荷量为＋q的粒子以大小不同的速度在纸面内从E点垂直AB边界射入磁场，BE＝a2，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用，关于粒子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是()A．在磁场中的运动时间相同的粒子入射速度相同B．到达D点的粒子入射速度大小v＝13qBa12mC．落在AD边的粒子在磁场中运动的最短时间为2πm3qBD．粒子在磁场中运动的最长时间为πmqB【答案】CD【解析】粒子在磁场中做圆周运动的周期：T＝2πmqB与粒子的速度无关，从AB边离开的粒子在磁场中的运动时间t＝12T都相等，从AB边的不同位置离开磁场的粒子速度不同，A项错误．当粒子速度较小时，粒子从AB边离开，运动轨迹与CD相切时，从AD边的最高点离开磁场，速度再增大，粒子从CD边离开磁场，粒子不可能从D点离开磁场，故B项错误．从AD边离开磁场的粒子中，轨迹与CD相切时，运动时间最短，如图所示：r＝a，θ＝arccosOAr＝arccos2a－r－BEr＝arccos2a－a－a2a＝60°，转过的圆心角：α＝180°－θ＝120°，最短时间：t＝α360°T＝2πm3qB，C项正确；粒子从AB边离开磁场时的运动时间最长为：t＝12T＝πmqB，D项正确．(六)圆形边界磁场的临界值例6(2017·课标全国Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为()A.3∶2B.2∶1C.3∶1D．3∶2【答案】C【解析】粒子在磁场边界的出射点分布的圆弧对应的弦长，等于粒子转动的直径，如图所示：设大圆半径为R，速度为v1时2r1＝R；速度为v2时2r2＝3R由r1＝mv1qB①r2＝mv2qB②联立①②得v2v1＝3∶1方法提炼分析临界问题的思路：(1)从关键词、语句找突破口，审题时抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律．(2)物理分析与几何方法结合，利用“动态轨迹图”“边界条件”“三角函数”“不等式的性质”等求临界值、极值．带电粒子在磁场中运动的多解问题当带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由于不确定因素的影响，使运动具有多种可能性，解决此类问题的关键是找出产生多解的原因，主要有五个因素：电性不确定、磁场的方向不确定、粒子的速度不确定、临界状态不唯一、粒子运动的周期性．(一)带电粒子电性不确定形成多解带电粒子可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，出现两种可能性．例7如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界．现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少．【答案】(2＋2)Bqdm(q为正电荷)或(2－2)Bqdm(q为负电荷)【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷．若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的14圆弧，轨道半径：R＝mvBq又d＝R－R2解得v＝(2＋2)Bqdm.若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的34圆弧，则有：R′＝mv′Bqd＝R′＋R′2，解得v′＝(2－2)Bqdm.(二)磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．例8(多选)一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是()A.4qBmB.3qBmC.2qBmD.qBm【答案】AC【解析】磁场方向有两种可能，洛伦兹力的方向也有两种可能．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，4Bqv＝mv2R，得v＝4BqRm，角速度为ω＝vR＝4Bqm；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，2Bqv＝mv2R，得v＝2BqRm，角速度为ω＝vR＝2Bqm，应选A、C两项．(三)带电粒子速度不确定形成多解有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的不确定而形成的多解．例9(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷qm＝k，则质子的速度可能为()A．2BkLB.BkL2C.3BkL2D.BkL8【答案】BD【解析】因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r＝Ln(n＝1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝mv2r，即v＝Bqrm＝Bk·Ln(n＝1，2，3，…)，B、D两项正确．(四)临界状态不唯一形成多解例10(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办