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4．4万有引力与航天(一)知识清单考点整合集中记忆一、开普勒行星运动定律开普勒第一定律——轨道定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．开普勒第二定律——面积定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．开普勒第三定律——周期定律所有行星轨道半长轴的三次方跟它的周期的二次方的比值都相等．二、万有引力定律发现过程：应用牛顿运动定律和圆周运动规律，结合开普勒定律，由行星的运动情况推导受力公式，再通过“月—地检验”推广到所有物体．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比．公式：F＝Gm1m2r2，卡文迪许测出引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2.适用条件：适用于质点间的相互作用．(1)当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)对于均匀球体可视为质点，r是两球心间的距离．考点讲练考点突破针对训练考点一开普勒行星运动定律的应用1．开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．2．对于匀速圆周运动，根据GMmr2＝m4π2T2r，得r3T2＝k＝GM4π2，可视为开普勒第三定律的特例．(2017·课标全国Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M，Q到N的运动过程中()A．从P到M所用的时间等于T04B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大C．从P到Q阶段，速率逐渐变小D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功【答案】CD【解析】A项，海王星在PM段的速度大小大于MQ段的速度大小，则PM段的时间小于MQ段的时间，所以P到M所用的时间小于T04，故A项错误；B项，从Q到N的过程中，由于只有万有引力做功，机械能守恒，故B项错误；C项，从P到Q阶段，万有引力做负功，速率减小，故C项正确；D项，根据万有引力方向与速度方向的关系知，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，故D项正确，故选C、D两项．(2018·课标全国Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为()A．2∶1B．4∶1C．8∶1D．16∶1【答案】C【解析】根据题意可得P与Q的轨道半径之比为：rP∶rQ＝4∶1根据开普勒第三定律：rP3TP2＝rQ3TQ2可得周期之比为：TP∶TQ＝8∶1故C项正确，A、B、D三项错误．考点二研究天体运动的两个基本关系式1．核心关系式万有引力提供向心力GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r.注意：M是中心天体质量，m是绕行天体质量，r是两球心间的距离．2．替换关系式万有引力与重力的关系mg＝GMmR2.即GM＝gR2.提示：当GM未知时，常用gR2替换．(2018·天津)(多选)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的()A．密度B．向心力的大小C．离地高度D．线速度的大小【答案】CD【解析】不能求出卫星的质量，就不能求出卫星的密度，也不能求出卫星受到的向心力A、B两项错误；根据万有引力提供向心力得：GMm（R＋h）2＝m(2πT)2(R＋h)mg＝GMmR2解得：h＝3GMT24π2－R＝3gR2T24π2－R可以求出卫星的高度．故C项正确；由牛顿第二定律得：GMm（R＋h）2＝mv2R＋h解得：v＝GMR＋h＝gR23gR2T24π2，可知可以求出卫星的线速度．故D项正确．经过网络搜集，我们获取了地月系统的相关数据资料如下表，根据这些数据我们计算出了地心到月球球心之间的距离，下列选项中正确的是()地球半径R＝6400km地球表面重力加速度g0＝9.80m/s2月球表面重力加速度g′＝1.56m/s2月球绕地球转动的线速度V＝1km/s月球绕地球转动周期T＝27.3天A.v2g′B.vT2πC.v2g0D.3g0R2T22π2【答案】B【解析】设地心到月球球心之间的距离为r.地球的质量为M，月球的质量为m.月球绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有GMmr2＝mv2r＝m4π2T2r在地球表面上，由重力等于万有引力，得m′g0＝GMm′R2联立解得r＝3g0R2T24π2，r＝g0R2v2根据圆周运动的规律，有v＝2πrT，得r＝vT2π，故A、C、D三项错误，B项正确．考点三天体质量及密度的计算1．利用天体表面的重力加速度计算已知天体表面的重力加速度g和天体半径R(1)由GMmR2＝mg，得天体质量M＝gR2G.(2)天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.2．利用卫星绕天体做匀速圆周运动计算已知卫星运动周期T和轨道半径r(1)由GMmr2＝m4π2rT2，得中心天体的质量M＝4π2r3GT2.(2)若已知中心天体的半径R，则天体的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3.(3)当卫星绕天体表面运行时，轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．(2018·青岛二模)地球和木星绕太阳运行的轨道可以看作是圆形的，它们各自的卫星轨道也可看作是圆形的．已知木星的公转轨道半径约是地球公转轨道半径的5倍，木星半径约为地球半径的11倍，木星质量大于地球质量．某同学根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，作出如图所示图像(已知万有引力常量为G，地球的半径为R)．下列说法正确的是()A．地球密度为3πadR3GB．木星密度为3πb25cR3GC．木星与地球的密度之比为bd25acD．木星与地球的密度之比为bd121ac【答案】A【解析】根据GMmr2＝mr4π2T2得，r3＝GMT24π2，可知图线的斜率k＝GM4π2，由于木星的质量大于地球的质量，可知图线斜率较大的是木星的图线．A项，对地球，k＝ad＝GM4π2，地球的质量M＝4π2aGd，地球的密度ρ＝M4πR33＝3πadR3G，A项正确．B项，对木星，k＝bc＝GM4π2，木星的质量M＝4π2bGc，木星的密度ρ＝M43π（11R）3＝3πb1331GcR3，故B项错误．C、D两项，由A、B知，木星与地球的密度之比为1331acbd，故C、D两项错误．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为()A．1.8×103kg/m3B．5.6×103kg/m3C．1.1×104kg/m3D．2.9×104kg/m3【答案】D【解析】由近地卫星绕地球做圆周运动，GMmR2＝m4π2T2Rρ＝MV＝M43πR3得ρ＝3πGT2＝5.6×103kg/m3由已知条件可知该行星的密度是地球密度的254.7倍ρ′＝254.7×5.6×103kg/m3＝2.9×104kg/m3.考点四万有引力与重力加速度重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转需要的向心力．在通常情况下不考虑地球自转，则重力等于万有引力．1．忽略地球自转在地面附近：重力mg＝GMmR2，g＝GMR2在距地面h处：重力mg′＝GMm（R＋h）2，g′＝GM（R＋h）22．考虑地球自转在两极上，mg＝GMmR2.在赤道上，mg′＝GMmR2－mω2R.假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()A.3π（g0－g）GT2g0B.3πg0GT2（g0－g）C.3πGT2D.3πg0GT2g【答案】B【解析】物体在地球的两极时，mg0＝GMmR2，物体在赤道上时，mg＋m(2πT)2R＝GMmR2，地球质量M＝43πR3·ρ，以上三式联立解得地球的密度ρ＝3πg0GT2（g0－g）.故B项正确，A、C、D三项错误．(2018·太原一模)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′.他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为()A．TF′FB．TFF′C．TF－F′FD．TFF－F′【答案】D【解析】设星球及探测器质量分别为m、m′在该星球两极点，GMmR2＝F，在赤道，则有GMmR2－F′＝M4π2T自2R，探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有Gmm′R2＝m′R4π2T2；联立两式解得T自＝TFF－F′.故D项正确，A、B、C三项错误．考点五天体表面的物体运动问题1．常见类型天体表面上物体运动的常见类型有：竖直下落、竖直上抛、加速上升、平抛等．2．解题关键天体表面的物体运动规律和在地球上相同，只是重力加速度不同，因此，求天体表面的重力加速度是解题的关键．3．基本思路(1)根据物体运动求重力加速度，再根据GMmR2＝mg求天体半径、质量或密度．(2)根据GMmR2＝mg求重力加速度，再求运动物理量．(2017·海南)已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月∶s地约为()A．9∶4B．6∶1C．3∶2D．1∶1【答案】A【解析】设月球质量为M′，半径为R′，地球质量为M，半径为R.已知MM′＝81，RR′＝4，根据万有引力等于重力，得GMmR2＝mg，则有：g＝GMR2，同理g′＝GM′R2因此gg′＝8116①由题意从同样高度抛出，h＝12gt2＝12g′t′2②①、②联立，解得t′＝94t，在地球上的水平位移s地＝v0t，在月球上的s月＝v0t′；因此s月∶s地约为9∶4，故A项正确，B、C、D三项错误．(2018·宣城二模)同重力场作用下的物体具有重力势能一样，万有引力场作用下的物体同样具有引力势能．若取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能为Ep＝－Gm0mr(G为引力常量、m0为星球质量)，设宇宙中有一个半径为R的星球，宇航员在该星球上以初速度v0竖直向上抛出一个质量为m的物体，不计空气阻力，经t秒后物体落回手中，则以下说法错误的是()A．在该星球表面上以2v0Rt的初速度水平抛出一个物体，物体将不再落回星球表面B．在该星球表面上以2v0Rt的初速度水平抛出一个物体，物体将不再落回星球表面C．在该星球表面上以2v0Rt的初速度竖直抛出一个物体，物体将不再落回星球表面D．在该星球表面上以2v0Rt的初速度竖直抛出一个物体，物体将不再落回星球表面【答案】D【解析】物体做竖直上抛运动，则有：v0＝g×t2，解得星球表面重力加速度为：g＝2v0t，万有引力等于重力提供向心力：mv2R＝mg，解得：v＝gR＝2v0Rt，此为最大的环绕速度，也是最小的发射速度，故以此速度或超过此速度水平抛出，都不会落回地面，故A、B两项正确；若竖直上抛，设速度为v′时，物体恰好不再落回星球表面．由机械能守恒定律得：－GmMR＋12mv′2＝0，又GMmR2＝mg，解得：v′＝2v0Rt，故C项正确，D项错误．题型拓展典例剖析提炼方法“行星冲日”运动模型在不同圆周轨道上绕同一天体运动的两个行星，某一时刻会出现三者排成一条直线的“行星冲日”现象，这种现象具有周期性．例(多选)“行星冲日”现象可以简化为如图所示的模型，A、B两个行星绕同一恒星O做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期T1，B行星的周期为T2