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4．2平抛运动知识清单考点整合集中记忆一、平抛运动运动特点：初速度沿水平方向，只受重力，是加速度为g的匀变速曲线运动．研究方法：分解为水平方向：匀速直线运动竖直方向：自由落体运动基本规律：(如图所示)①速度关系②位移关系重要推论：由上可知：tanθ＝2tanα，即平抛运动速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．二、斜抛运动斜上抛运动分解为：水平方向：匀速直线运动vx＝v0cosθ竖直方向：竖直上抛运动，vy＝v0sinθ－gt.考点讲练考点突破针对训练考点一平抛运动基本规律的应用1．解题思路：化曲为直，先分后合．2．常用结论：(1)运动时间：t＝2hg，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．(2)水平射程：x＝v0t＝v02hg，水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定．(3)落地速度：vt＝vx2＋vy2＝v02＋2gh，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．(4)速度改变量：在任意相等时间Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向竖直向下．如图：(2018·江苏)某弹射管每次弹出的小球速度相等．在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球．忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的()A．时刻相同，地点相同B．时刻相同，地点不同C．时刻不同，地点相同D．时刻不同，地点不同【答案】B【解析】根据题意可知，不同时刻弹射出的小球在水平方向具有相同的初速度，在竖直方向的运动情况与枪管的运动情况相同，故先后弹出两只小球和弹射器同时落地；小球水平方向运动的时间不同，所以落地点不同，A、C、D三项错误、B项正确．(多选)如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为正方形ABCD，若在A点以初速度v0沿AB方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的C点，已知AB的长度为l，忽略空气阻力，则()A．小球下落的时间t＝lv0B．坑的深度AD＝gl22v02C．落到C点的速度大小为2v0D．落到C点时速度方向与水平成60°角【答案】AB【解析】小球做平抛运动的水平位移l＝v0t，则小球下落的时间为t＝lv0，A项正确；小球在竖直方向的位移y＝12gt2＝gl22v02，B项正确；落到C点时，水平分位移与竖直分位移大小相等，即v0t＝vy2t，所以vy＝2v0，落到C点的速度v＝v02＋vy2＝5v0，方向为tanθ＝vyv0＝2，不等于60°，C、D两项错误．考点二平抛运动重要推论的应用有些平抛运动问题应用基本规律求解比较复杂，可以考虑直接应用平抛运动的推论求解，下面的两个推论可以互为推导，合二为一．推论Ⅰ：做平抛运动的物体，任一时刻速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．推论Ⅱ：做平抛运动的物体，某时刻速度与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ.(2018·课标全国Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的()A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍【答案】A【解析】设斜面倾角为α，小球落在斜面上速度方向偏向角为θ，甲球以速度v抛出，落在斜面上，如图所示；根据平抛运动的推论tanθ＝2tanα，所以甲乙两个小球落在斜面上时速度偏向角相等；故对甲有：v甲末＝vcosθ对乙有：v乙末＝v2cosθ，所以v甲末v乙末＝21，故A项正确、B、C、D三项错误．如图所示，两平行金属极板之间有一匀强电场，金属板长为L，一带电粒子以速度v0垂直于场强方向沿上极板边缘射入匀强电场，刚好贴下极板边缘飞出，如果该带电粒子以某一垂直于场强方向的初速度v1仍沿上极板边缘射入电场并能从其中射出，当它的竖直位移等于板间距d时，它的水平射程为2L(轨迹未画出)．则粒子进入电场的初速度v1等于()A．v0B.2v0C.3v0D．2v0【答案】C【解析】设粒子在电场中的加速度为a.第一次，粒子恰好从下极板的边缘飞出，粒子做类平抛运动，有L＝v0t，d＝12at2，解得v0＝La2d.第二次，由类平抛运动的推论知粒子好像是从上极板的中点沿直线飞出，由几何相似可得，粒子飞出电场时竖直方向的位移为y＝d3，可得L＝v1t′，y＝d3＝12at′2，解得v1＝L3a2d＝3v0，故C项正确．考点三逆向思维和对称方法的应用对于斜抛运动，可以用逆向思维和对称方法转化为平抛运动处理．斜抛运动的后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动时间、位移和速度具有对称性．(2018·太原模拟)将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直墙面上，如图所示．不计空气阻力，则下列说法正确的是()A．从抛出到撞墙，第二次球在空中运动的时间较短B．篮球两次抛出时速度的竖直分量第一次小于第二次C．篮球两次撞墙的速度可能相等D．抛出时的速度大小，第一次一定比第二次小【答案】A【解析】由于两次篮球垂直撞在竖直墙面上，篮球被抛出后的运动可以看作是平抛运动的反向运动．加速度都为g.在竖直方向上，h＝12gt2，因为h1＞h2，则t1＞t2，因为水平位移相等，根据x＝v0t知，撞墙的速度v01＜v02.即第二次撞墙的速度大．由两次抛出时速度的竖直分量vy＝gt可知，第一次大于第二次，故A项正确，B、C两项错误；根据平行四边形定则知，抛出时的速度v＝v02＋2gh，第一次的水平初速度小，而上升的高度大，则无法比较抛出时的速度大小，故D项错误．(2018·江苏二模)如图所示，平板MN和PQ水平放置，O、M、P在同一竖直线上，且OM＝MP＝h，PQ长为h，MN明显比PQ短，从O点水平向右抛出一个小球，落在MN上反弹前后水平分速度不变，竖直方向分速度等大反向，结果小球刚好落在Q点，则小球从O点抛出的初速度为()A．(2＋1)ghB．(2－1)ghC.2＋12ghD.2－12gh【答案】D【解析】小球的运动轨迹如图所示，由图可知，O到A的时间和A到B的时间相等，t1＝t2＝2hg，由B到Q的时间t3＝4hg，则运动的总时间t＝t1＋t2＋t3＝22hg＋4hg，小球平抛运动的初速度v0＝ht＝2－12gh，故D项正确，A、B、C三项错误．考点四类平抛运动1．受力特点物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．2．运动特点在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动．3．求解方法将类平抛运动分解为两个分运动：(1)沿初速度方向：匀速直线运动．(2)沿合力的方向：匀加速直线运动，加速度a＝F合m.如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则()A．P→Q所用的时间t＝22lgsinθB．P→Q所用的时间t＝2lgC．初速度v0＝bgsinθ2lD．初速度v0＝bg2l【答案】C【解析】物体的加速度为：a＝gsinθ.根据l＝12at2，得t＝2lgsinθ，故A、B两项错误；初速度v0＝bt＝bgsinθ2l，故C项正确，D项错误．(改编)如图，在水平方向的匀强电场中有一表面光滑、与水平面成45°角的绝缘直杆ab，其下端(b端)距地面高度h＝0.8m．一质量为1kg的带电小环套在直杆上，正以某速度沿杆匀速下滑，小环离杆后正好通过b端的正下方c点处．(g取10m/s2)求：(1)小环离开直杆后运动的加速度大小和方向；(2)小环在直杆上运动时的速度．【答案】(1)102m/s2方向垂直于杆向下(2)2m/s解析(1)小环沿ab杆匀速下滑，共受3个力，如图可知：qE＝mg，小环离开直杆后，只受重力和电场力，F合＝2mg＝ma，a＝2g＝102m/s2，方向垂直于杆向下．(2)小环离开杆做类平抛运动：平行于杆的方向做匀速运动：22h＝vt，垂直于杆的方向做匀加速直线运动：22h＝12at2，解得v＝2m/s.考点五平抛运动中的相遇问题在同一竖直面内有多个物体做平抛或其他运动，涉及到两个物体相遇问题，解决此类问题的关键是：结合平抛运动，从两个方向上建立位移关系式．1．在水平方向：建立两个物体的水平位移与水平距离之间的关系式．2．在竖直方向：建立两个物体的竖直位移与高度差之间的关系式．(2018·揭阳一模)(多选)在如图所示的平面直角坐标系中，A，B，C三个小球沿图示方向做平抛运动，已知三个小球恰好在x轴上相遇，则()A．小球A一定比小球B先抛出B．小球A、B在空中运动的时间之比为2∶1C．小球A的初速度可能比小球B的初速度大D．小球C的初速度可能比小球B的初速度小答案ACD解析A项，根据t＝2hg知，A、B下落的高度之比为2∶1，则运动时间之比为2∶1，则A一定比小球B先抛出，故A项正确，B项错误；C项，由于不知道A、B球水平位移的关系，所以不能判断初速度大小关系，则A的初速度可能比小球B的初速度大，故C项正确．D项，B的高度小于C的高度，则B运动的时间小于C运动的时间，而B的水平位移又小于C的水平位移，则不能判断B、C初速度大小关系，即小球C的初速度可能比小球B的初速度小，故D项正确．如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹拦截．设拦截系统与飞机的水平距离为s，不计空气阻力．若拦截成功，则v1、v2的关系应满足()A．v1＝v2B．v1＝Hsv2C．v1＝Hsv2D．v1＝sHv2【答案】D【解析】设经t时间拦截成功，则平抛的炮弹下落h＝12gt2，水平运动s＝v1t；竖直上抛的炮弹上升H－h＝v2t－12gt2，由以上各式得v1＝sHv2，故D项正确．题型拓展典例剖析提炼方法落在特定界面上的平抛运动模型做平抛运动的物体经常落在一些特定界面上，常见的类型有：竖直面、斜面、圆弧面、抛物面、有界区域、障碍物等，解决这类问题的关键是：把特定界面的几何关系或函数方程与平抛运动规律结合．落在斜面上的平抛运动常见两种类型：对着斜面的平抛运动和顺着斜面的平抛运动．解题关键是利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，见下表：实例方法关系式分解速度，构建速度三角形水平vx＝v0竖直vy＝gttanθ＝v0vy＝v0gt分解位移，构建位移三角形水平x＝v0t竖直y＝12gt2tanθ＝yx例1(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则()A．落于B点的小球飞行时间为tB．v2＝gtC．落于C点的小球的水平位移为gt2D．A点距水平面MN的高度为34gt2【答案】ACD【解析】落于C点的小球速度垂直QO，则分解速度，如图，则v1＝gt，水平位移x＝v1t＝gt2，故C项正确．落于B点的小球落点位置，则分解位移如图，其中，BC在同一平面，故飞行时间都为t有：tan45°＝12gt2v2t＝gt2v0∴v2＝gt2，故A项正确，B项错误．设C点距地面为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，∴h＝14gt2故A点距水平面高度H＝h＋12gt2＝34gt2，故D项正确．落在竖直面上的平抛运动落在竖直面上的平抛运动如图所示，其特点是：水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同，运动时间为t＝dv0.例2(2016·浙江)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围．【答案】(1)t＝3hg(2)Lg4h≤v≤Lg2h【解析】(1)打在中点的微粒32h＝12gt2①t＝3hg②(2)打在B点的微粒v1＝Lt1；2h＝12gt12③v1＝Lg4h④同理，打在A点的微粒初速率v2＝Lg2h⑤微粒初速度范围L