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1．5追及和相遇运动专题专题综述一、解决追及和相遇问题的三个关系速度关系：在追及问题中，当两者速度相等时，两物体相距最远或最近．这是列关系式的切入点，也是判断能否追上的依据．位移关系：根据两物体初始运动的距离，画出运动示意图，建立位移关系．时间关系：根据两物体初始运动的时间差，建立时间关系．二、解决追及和相遇问题的常用方法物理分析法：从速度相等这一临界条件入手，应用运动规律，建立位移关系式．数学函数法：根据位移关系列出二元一次方程，根据方程的解判断能否相遇或相遇几次，求出相应物理量．图像法；利用v－t图像的“面积”，分析位移关系．三、解决追及和相遇问题的基本思路分析物体运动过程―→画运动示意图―→找两物体位移关系―→列位移方程题型透析追及和相遇问题中的极值与多解例1一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v0＝6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，求：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度．【答案】(1)2s6m(2)12m/s【解析】运动示意图：方法一：(分析法)(1)当汽车的速度为v＝6m/s时，二者相距最远，所用时间为t＝va＝2s最远距离为Δs＝v0t－12at2＝6m.(2)两车距离最近时有v0t′＝12at′2，解得t′＝4s，汽车的速度为v＝at′＝12m/s.方法二：(图像法)(1)汽车和自行车的vt图像如图所示，由图像可得t＝2s时，二者相距最远．最远距离等于图中阴影部分的面积，即Δs＝12×6×2m＝6m.(2)两车距离最近时，即两个vt图线下方面积相等时，由图像得此时汽车的速度为v＝12m/s.方法三：(函数法)(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为：Δs＝v0t－12at2因二次项系数小于零，当t＝－v02×（－12a）＝2s时有最大值，最大值Δsm＝v0t－12at2＝6×2m－12×3×22m＝6m.(2)当Δs＝v0t′－12at′2＝0时相遇，得t′＝4s，汽车的速度为v＝at′＝12m/s.方法提炼1．物理分析法：求追及问题中的极值，一般从“速度相等”入手，有两种情况：(1)当后车比前车运动快时，两车距离减小，速度相等时距离最小．(2)当后车比前车运动慢时，两车距离增大，速度相等时距离最大．2．数学函数法：(1)根据两位移差随时间变化的关系式，求二次函数的极值，即两车最近或最远距离．(2)根据位移关系方程，由二次方程的判别式，判断是一个解、两个解还是无解，确定相遇次数．在例1中，若汽车刚启动时，自行车到路口距离为s，则相遇时的位移关系：vt－12at2＝s，代入数据：3t2－12t＋2s＝0，根据判别式：122－24s0，有两个解122－24s＝0，有一个解122－24s0，无解刹车中的追及和相遇问题例2某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝40m/s，v2＝25m/s，轿车在与货车距离x0＝22m时才发现前方有货车，若此时轿车立即刹车，则轿车要经过x＝160m才停下来．两车可视为质点．(1)若轿车刹车时货车以v2匀速行驶，通过计算分析两车是否会相撞？(2)若轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t0＝2s收到信号后立即以加速度大小a2＝2.5m/s2匀加速前进，通过计算分析两车会不会相撞？【答案】(1)两车会相撞(2)两车不会相撞【解析】(1)轿车经过x＝160m的过程，由v12＝2a1x得轿车刹车过程的加速度大小a1＝5m/s2恰好不相撞时两车的速度相等，即v1－a1t1＝v2得t1＝v1－v2a1＝3s轿车前进的距离x1＝v1＋v22t1＝97.5m货车前进的距离x2＝v2t1＝75m，因x1－x2＝22.5mx0，两车会相撞．(2)假设两车的速度相等，即v1－a1t＝v2＋a2(t－t0)轿车前进的距离x1′＝v1t－12a1t2货车前进的距离x2′＝v2t0＋v2(t－t0)＋12a2(t－t0)2得x1′＝8009m，x2′＝6059m，因x1′－x2′＝21.7mx0，两车不会相撞．例3汽车A以vA＝4m/s的速度向东做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7m处、以vB＝10m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2m/s2.若汽车A不采取刹车措施，从此刻开始计时．求：(1)A追上B前，A、B间的最远距离；(2)经过多长时间A恰好追上B.【答案】(1)16m(2)8s【解析】(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，代入数据解得t＝3s.此时汽车A的位移xA＝vAt＝4×3m＝12m，汽车B的位移xB＝vBt－12at2＝10×3m－12×2×32m＝21m，故最远距离Δxm＝xB＋x0－xA＝21m＋7m－12m＝16m.(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝vBa＝102s＝5s，运动的位移x′B＝vB22a＝1022×2m＝25m.汽车A在t1时间内运动的位移x′A＝vAt1＝20m.此时相距Δx＝x′B＋x0－x′A＝12m，汽车A需再运动的时间t2＝ΔxvA＝3s，故A追上B所用时间t＝t1＋t2＝8s.方法提炼刹车中的追及问题要注意的两种情况：1．当后面的车辆刹车时，与前面车辆恰好不相撞的条件是：速度相等时刚好追上．2．当前面的车辆刹车时，先要计算刹车停止的时间和位移，根据位移关系，判断相遇情况：(1)若在前车停止前相遇，可以根据位移关系直接列方程求解．(2)若在前车停止后相遇，需要分别计算停车前后运动时间和位移．在特定条件下的追及和相遇问题例4一辆摩托车能达到的最大速度为30m/s，要想在3min内由静止起沿一条平直公路追上前面1000m处正以20m/s的速度匀速行驶的汽车，则摩托车必须以多大的加速度启动？(保留两位有效数字)甲同学的解法是：设摩托车恰好在3min时追上汽车，则12at2＝vt＋x0，代入数据得a＝0.28m/s2.乙同学的解法是：设摩托车追上汽车时，摩托车的速度恰好是30m/s，则vm2＝2ax＝2a(vt＋x0)，代入数据得a＝0.1m/s2.你认为他们的解法正确吗？若错误，请说明理由，并写出正确的解法．【答案】甲、乙都不正确，应为0.56m/s2【解析】甲错，因为vm＝at＝0.28×180m/s＝50.4m/s30m/s已经超过了最大速度．乙错，因为t＝vma＝300.1s＝300s180s已经超过了最长时间．正确解法：通过甲、乙的计算可知：摩托车不可能一直加速追上汽车，只有先加速再匀速，才能在满足条件下追上．摩托车的最大速度vm＝at112at12＋vm(t－t1)＝1000m＋vt解得a＝0.56m/s2.方法提炼在例4中，有两个特定条件：“最大速度”和“最长时间”．这类问题中摩托车的运动有两种可能：一直加速追上汽车或先加速再匀速追上．要先运用特定条件计算，判断是哪种运动情况，再列出相应的关系式．不在同一直线上的相遇问题例5潜艇部队经常开展鱼雷攻击敌方舰艇演练．某次演习的简化模型为：敌舰沿直线MN匀速航行，潜艇隐蔽在Q点不动，Q到MN的距离QO＝2000m．当敌舰到达距离O点800m的A点时，潜艇沿QO方向发射一枚鱼雷，正好在O点击中敌舰．敌舰因受鱼雷攻击，速度突然减为原来的一半，且立刻沿原运动方向做匀加速运动逃逸.100s后潜艇沿QB方向发射第二枚鱼雷，鱼雷在B点再次击中敌舰．测得OB＝1500m，不考虑海水速度的影响，潜艇和敌舰可视为质点，鱼雷的速度大小恒为25m/s.求：(1)敌舰第一次被击中前的速度；(2)鱼雷由Q至B经历的时间；(3)敌舰逃逸时的加速度大小．【解析】(1)鱼雷从Q到O经历的时间t1＝OQv＝200025s＝80s敌舰被击中前的速度v1＝OAt1＝80080m/s＝10m/s(2)设第二枚鱼雷经过时间t2击中敌舰，则QB＝OB2＋QO2＝2500m，t2＝QBv＝250025m/s＝100s(3)敌舰第一次被击中后瞬间的速度v2＝v12＝5m/s敌舰被第一次击中后运动的时间t3＝t2＋100s＝200s设敌舰的加速度为a，由OB＝v2t3＋12at32，得a＝140m/s2＝0.025m/s2.方法提炼对不在同一直线上的相遇问题，要利用好两个关系：1．时间关系：两个运动时间相等，或存在已知的时间差．2．位移关系．由于两个运动不在同一直线上，有时需要应用几何定律(如勾股定理等)确定位移关系．1．(2017·海南一模)甲、乙两辆汽车前后行驶在同一笔直车道上，速度分别为6.0m/s和8.0m/s，相距5.0m时前面的甲车开始以2.0m/s2的加速度做匀减速运动，后面的乙车也立即减速，为避免发生撞车事故，则乙车刹车的加速度至少是()A．2.7m/s2B．2.8m/s2C．2.3m/s2D．2.4m/s2答案D解析设经过时间t甲乙两车速度相等，则有：v0甲－a甲t＝v0乙－a乙t，即6－2.0t＝8－a乙t①v0甲t－12a甲t2＋5＝v0乙t－12a乙t2，即6t－12×2t2＋5＝8t－12a乙t2②联立①②式，解得a＝2.4m/s2，故D项正确，A、B、C三项错误．2．(2018·湖南联考)(多选)汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时启动，以0.4m/s2的加速度做匀加速直线运动，30s后以该时刻的速度做匀速直线运动，设在绿灯亮的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以此速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始()A．A车在加速过程中与B车相遇B．A、B两车相遇时速度相同C．相遇时A车做匀速运动D．A车追上B车后，两车不可能再次相遇答案CD解析A车在匀加速直线运动过程中的位移xA1＝12aAt12＝180m，此过程中B车的位移xB1＝vBt1＝240mxA1，故A车在加速过程中没有与B车相遇，A项错误，C项正确；之后因vA＝aAt1＝12m/svB，故A车一定能追上B车，相遇之后不能再相遇，A、B相遇时的速度一定不相同，B项错误，D项正确．3．两个小物块放在水平地面上，与地面的动摩擦因数相同，两物块间的距离d＝170m，它们的质量分别为m1＝2kg、m2＝3kg.现令它们分别以初速度v1＝10m/s和v2＝2m/s相向运动，经过时间t＝20s，两物块相遇，试求：两物块相遇时m1的速度．某同学解答过程如下：由于两物块与地面的动摩擦因数相同，则两物块加速度大小相同，设为a.相遇时，两物块位移大小之和为d，有d＝(v1t－12at2)＋(v2t－12at2)代入数据得a的大小，再由运动学公式vt＝v0－at，求得两物块相遇时m1的速度．你认为上述解法是否正确？若正确，根据上述列式求出结果；若不正确，指出错误原因并求出正确结果．答案不正确，6m/s解析不正确，根据上述列式计算得到a＝0.175m/s2，则20s前m2已经停止运动，正确列式d＝(v1t－12at2)＋v222a得a＝0.2m/s2vt＝v0－at＝6m/s.则两物块相遇时m1的速度为6m/s.4.(2018·黄冈模拟)如图所示，水平地面O点的正上方的装置M每隔相等的时间由静止释放一小球，当某小球离开M的同时，O点右侧一长为L＝1.2m的平板车开始以a＝6.0m/s2的恒定加速度从静止开始向左运动，该小球恰好落在平板车的左端，已知平板车上表面距离M的竖直高度为h＝0.45m．忽略空气的阻力，重力加速度g取10m/s2.(1)求平板车左端离O点的水平距离；(2)若至少有2个小球落在平板车上，则释放小球的时间间隔Δt应满足什么条件？答案(1)s＝0.27m(2)Δt≤0.4s解析(1)设小球自由下落至平板车上表面处历时t0，在该时间段内由运动学方程对小球有：h＝12gt02①对平板车有：s＝12at02②由①②式并代入数据可得：s＝0.27m.(2)从释放第1个小球至第2个小球下落到平板车上表面历时Δt＋t0，设平板车在该时间段内的位移为s1，由运动学